Суми, різниці, добутки та частки

Ми навчилися диференціювати прості алгебраїчні функції, такі як $x^2 + c$ або $ax^4$, і тепер маємо розібратись, як диференціювати суму двох або більше функцій.

Це відповідає описаній вище процедурі. Ви диференціюєте кожну функцію окремо та складаєте результати. Отже, якщо тепер ми візьмемо наведений у попередньому параграфі приклад та введемо значення двох функцій, ми матимемо, використовуючи нотацію наведену у розділі III, \begin{alignat*}{2} \frac{dy}{dx} & = \frac{d(x^2+c)}{dx} &&+ \frac{d(ax^4+b)} {dx} \\ & = 2x &&+ 4ax^3, \end{alignat*} так само, як і раніше.

Якби було три функції від $x$, які ми можемо назвати $u$, $v$ і $w$, так що \begin{align*} y &= u+v+w; \\ \text{тоді}\; \frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} + \frac{dw}{dx}. \end{align*}

З цього одразу випливає правило для віднімання, адже якби функція $v$ сама мала негативний знак, її диференціальний коефіцієнт також був би негативним; так що диференціюючи \begin{align*} y &= uv, \\ \text{ ми маємо отримати}\; \frac{dy}{dx} &= \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx}. \end{align*}

Але коли ми маємо справу з добутком, стає трохи складніше.

Припустімо, що нас попросили продиференціювати вираз \[ y = (x^2+c) × (ax^4+b), \] що нам робити? Результатом точно не буде $2x × 4ax^3$; оскільки легко побачити, що ані $c × ax^4$, ані $x^2 × b$ не було б взято до цього добутку.

Тепер є два шляхи, якими ми можемо приступити до роботи.

Перший спосіб. Виконайте спочатку множення, і потім, розв’язавши його, диференціюйте.

Відповідно, ми множимо $x^2 + c$ на $ax^4 + b$.

Це дає $ax^6 + acx^4 + bx^2 + bc$.

Тепер диференціюємо та отримаємо: \[ \dfrac{dy}{dx} = 6ax^5 + 4acx^3 + 2bx. \]

Другий спосіб. Повернемося до початкових принципів і розглянемо рівняння \[ y = u × v; \] де $u$ — одна функція від $x$, а $v$ — будь-яка інша функція від $x$. Тоді, якщо $x$ зростає до $x+dx$; і $y$ до $y+dy$; і $u$ стає $u+du$, а $v$ стає $v+dv$, ми матимемо: \begin{align*} y + dy &= (u + du) × (v + dv) \\ &= u · v + u · dv + v · du + du · dv. \end{align*}

Тут $du · dv$ є малою величиною другого порядку малості, і тому може бути відкинуто, залишивши \[ y + dy = u · v + u · dv + v · du. \]

Тоді, віднявши початкове $y = u· v$, ми залишимо \[ dy = u · dv + v · du; \] і, поділивши на $dx$, отримаємо результат: \[ \dfrac{dy}{dx} = u\, \dfrac{dv}{dx} + v\, \dfrac{du}{dx} . \]

Тобто, наші інструкції будуть наступними: Щоб диференціювати добуток двох функцій, помножте кожну функцію на похідну іншої та складіть два отримані таким чином добутки.

Тепер виконаємо алгебраїчне ділення наступним чином:

Оскільки обидва ці залишки є малими величинами другого порядку, ними можна знехтувати, і ділення може зупинитися на цьому, оскільки будь-які подальші залишки будуть ще меншими.

Отже, ми отримали: \begin{align*} y + dy &= \dfrac{u}{v} + \dfrac{du}{v} - \dfrac{u· dv}{v^2}; \\ \end{align*} що може бути записано як \begin{align*} &= \dfrac{u}{v} + \dfrac{v· du - u· dv}{v^2}. \\ \end{align*} Тепер віднімемо початкове $y = \dfrac{u}{v}$, і у нас залишиться: \begin{align*} dy &= \dfrac{v· du - u· dv}{v^2}; \\ \text{звідки}\; \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{v\, \dfrac{du}{dx} - u\, \dfrac{dv}{dx}}{v^2}. \end{align*}

Це дає нам інструкції щодо того, як диференціювати ділення двох функцій. Помножте функцію дільника на похідну функції діленого; потім помножте функцію діленого на похідну функції дільника, і відніміть. Нарешті, поділіть на квадрат функції дільника.

Повертаючись до нашого прикладу $y = \dfrac{bx^5 + c}{x^2 + a}$, \begin{align*} \text{ запишемо}\; bx^5 + c &= u; \\ \text{та}\; x^2 + a &= v. \end{align*}

Тоді

\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{(x^2 + a)\, \dfrac{d(bx^5 + c)}{dx} - (bx^5 + c)\, \dfrac{d(x^2 + a)}{dx}}{(x^2 + a)^2} \\ &= \frac{(x^2 + a)(5bx^4) - (bx^5 + c)(2x)}{(x^2 + a)^2}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{3bx^6 + 5abx^4 - 2cx}{(x^2 + a)^2}.\quad\text{(Відповідь.)} \end{align*}

Тоді \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{(x^2 + a)\, \dfrac{d(bx^5 + c)}{dx} - (bx^5 + c)\, \dfrac{d(x^2 + a)}{dx}}{(x^2 + a)^2} \\ &= \frac{(x^2 + a)(5bx^4) - (bx^5 + c)(2x)}{(x^2 + a)^2}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{3bx^6 + 5abx^4 - 2cx}{(x^2 + a)^2}.\quad\text{(Відповідь.)} \end{align*}

Розрахунок часток часто втомлює, але в ньому немає нічого складного.

Далі наведено кілька ще повністю розрахованих прикладів.

Прямий спосіб зробити це буде пояснено пізніше (див. тут); але ми можемо впоратися з цим зараз без будь-яких труднощів.

Розгортаючи куб, отримуємо

\[ v = 27t^6 - 32.4t^5 + 39.96t^4 - 23.328t^3 + 13.32t^2 - 3.6t + 1; \] отже \[ \frac{dv}{dt} = 162t^5 - 162t^4 + 159.84t^3 - 69.984t^2 + 26.64t - 3.6. \]

\[ v = 27t^6 - 32.4t^5 + 39.96t^4 - 23.328t^3 + 13.32t^2 - 3.6t + 1; \] отже \[ \frac{dv}{dt} = 162t^5 - 162t^4 + 159.84t^3 - 69.984t^2 + 26.64t - 3.6. \]

(5) Продиференціюйте $y = (2x - 3)(x + 1)^2$.

\begin{alignat*}{2} \frac{dy}{dx} &= (2x - 3)\, \frac{d\bigl[(x + 1)(x + 1)\bigr]}{dx} &&+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= (2x - 3) \left[(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right. &&+ \left.(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right] \\ & &&+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= 2(x + 1)\bigl[(2x - 3) + (x + 1)\bigr] &&= 2(x + 1)(3x - 2) \end{alignat*}

\begin{alignat*}{2} \frac{dy}{dx} &= (2x - 3)\, \frac{d\bigl[(x + 1)(x + 1)\bigr]}{dx} &&+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= (2x - 3) \left[(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right. &&+ \left.(x + 1)\, \frac{d(x + 1)}{dx}\right] \\ & &&+ (x + 1)^2\, \frac{d(2x - 3)}{dx} \\ &= 2(x + 1)\bigl[(2x - 3) + (x + 1)\bigr] &&= 2(x + 1)(3x - 2) \end{alignat*}

або, простіше кажучи, помножити, а потім продиференціювати.

(6) Продиференціюйте $y = 0.5 x^3(x-3)$. \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= 0.5\left[x^3 \frac{d(x-3)}{dx} + (x-3) \frac{d(x^3)}{dx}\right] \\ &= 0.5\left[x^3 + (x-3) × 3x^2\right] = 2x^3 - 4.5x^2. \end{align*}

Так само, як і у попередньому прикладі.

(7) Продиференціюйте $w = \left(\theta + \dfrac{1}{\theta}\right) \left(\sqrt{\theta} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta}}\right)$.

Це можна записати як

\begin{gather*} w = (\theta + \theta^{-1})(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}). \\ \begin{aligned} \frac{dw}{d\theta} &= (\theta + \theta^{-1}) \frac{d(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})}{d\theta} + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}) \frac{d(\theta+\theta^{-1})}{d\theta} \\ &= (\theta + \theta^{-1})(\tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{1}{2}} - \tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{3}{2}}) + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})(1 - \theta^{-2}) \\ &= \tfrac{1}{2}(\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) + (\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) \\ &= \tfrac{3}{2} \left(\sqrt{\theta} - \frac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) + \tfrac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{\theta}} - \frac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \end{aligned} \end{gather*}

\begin{gather*} w = (\theta + \theta^{-1})(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}). \\ \begin{aligned} \frac{dw}{d\theta} &= (\theta + \theta^{-1}) \frac{d(\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})}{d\theta} + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}}) \frac{d(\theta+\theta^{-1})}{d\theta} \\ &= (\theta + \theta^{-1})(\tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{1}{2}} - \tfrac{1}{2}\theta^{-\frac{3}{2}}) + (\theta^{\frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}})(1 - \theta^{-2}) \\ &= \tfrac{1}{2}(\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) + (\theta^{ \frac{1}{2}} + \theta^{-\frac{1}{2}} - \theta^{-\frac{3}{2}} - \theta^{-\frac{5}{2}}) \\ &= \tfrac{3}{2} \left(\sqrt{\theta} - \frac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) + \tfrac{1}{2} \left(\frac{1}{\sqrt{\theta}} - \frac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \end{aligned} \end{gather*}

Це, знову ж таки, можна отримати простіше, спочатку помноживши два множники, а потім продиференціювавши. Однак це не завжди можливо; див., наприклад, тут, приклад 8, в якому правило диференціювання добутку має бути використаним.

(8) Продиференціюйте $y =\dfrac{a}{1 + a\sqrt{x} + a^2x}$. \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= \frac{(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x) × 0 - a\dfrac{d(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)}{dx}} {(1 + a\sqrt{x} + a^2x)^2} \\ &= - \frac{a(\frac{1}{2}ax^{-\frac{1}{2}} + a^2)} {(1 + ax^{\frac{1}{2}} + a^2x)^2}. \end{align*}

(9) Продиференціюйте $y = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}$. \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(x^2 + 1)\, 2x - x^2 × 2x}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}. \]

(10) Продиференціюйте $y = \dfrac{a + \sqrt{x}}{a - \sqrt{x}}$.

У формі степеня, $y = \dfrac{a + x^{\frac{1}{2}}}{a - x^{\frac{1}{2}}}$.

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{(a - x^{\frac{1}{2}})( \tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}) - (a + x^{\frac{1}{2}})(-\tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}})} {(a - x^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{ a - x^{\frac{1}{2}} + a + x^{\frac{1}{2}}} {2(a - x^{\frac{1}{2}})^2\, x^{\frac{1}{2}}}; \\ \text{отже}\; \frac{dy}{dx} = \frac{a}{(a - \sqrt{x})^2\, \sqrt{x}}. \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{(a - x^{\frac{1}{2}})( \tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}) - (a + x^{\frac{1}{2}})(-\tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}})} {(a - x^{\frac{1}{2}})^2} = \frac{ a - x^{\frac{1}{2}} + a + x^{\frac{1}{2}}} {2(a - x^{\frac{1}{2}})^2\, x^{\frac{1}{2}}}; \\ \text{отже}\; \frac{dy}{dx} = \frac{a}{(a - \sqrt{x})^2\, \sqrt{x}}. \]

(11) Продиференціювати

\begin{align*} \theta &= \frac{1 - a \sqrt[3]{t^2}}{1 + a \sqrt[2]{t^3}}. \\ \text{Тепер}\; \theta &= \frac{1 - at^{\frac{2}{3}}}{1 + at^{\frac{3}{2}}}. \end{align*} \begin{align*} \frac{d\theta}{dt} &= \frac{(1 + at^{\frac{3}{2}}) (-\tfrac{2}{3} at^{-\frac{1}{3}}) - (1 - at^{\frac{2}{3}}) × \tfrac{3}{2} at^{\frac{1}{2}}} {(1 + at^{\frac{3}{2}})^2} \\ &= \frac{5a^2 \sqrt[6]{t^7} - \dfrac{4a}{\sqrt[3]{t}} - 9a \sqrt[2]{t}} {6(1 + a \sqrt[2]{t^3})^2}. \end{align*}

(12) Резервуар квадратного поперечного перерізу має сторони, нахилені до вертикалі під кутом $45°$. Сторона дна становить $200$ футів. Знайдіть вираз для кількості води, яка вливається або витікає, коли глибина води змінюється на $1$ фут; отже, знайдіть у галонах кількість, що вилучається щогодини, коли глибина зменшується з $14$ до $10$ футів за $24$ години.

Об’єм усіченої піраміди висотою $H$ і основами $A$ та $a$ дорівнює $V = \dfrac{H}{3} (A + a + \sqrt{Aa} )$. Легко побачити, що якщо нахил становить $45°$, а глибина $h$, довжина сторони квадратної поверхні води становить $200 + 2h$ футів, отже об’єм води \[ \dfrac{h}{3} [200^2 + (200 + 2h)^2 + 200(200 + 2h)] =\\= 40 000h + 400h^2 + \dfrac{4h^3}{3}. \]

$\dfrac{dV}{dh} = 40 000 + 800h + 4h^2 = {}$ кубічних футів на фут варіації глибини. Середній рівень від $14$ до $10$ футів становить $12$ футів, коли $h = 12$, $\dfrac{dV}{dh} = 50 176$ кубічних футів.

Галони на годину відповідають зміні глибини на $4$ фути. за $24$ години ${} = \dfrac{4 × 50 176 × 6.25}{24} = 52 267 $ галонів.

(13) Абсолютний тиск, в атмосферах, $P$, насиченого пару при температурі $t°$ C. визначено Дюлонгом як $P = \left( \dfrac{40 + t}{140} \right )^5$, доки $t$ вище $80°$. Знайти швидкість зміни тиску з температурою при 100°С.

Розкладемо чисельник за біноміальною теоремою (див. тут).\[ P = \frac{1}{140^5} (40^5 + 5×40^4 t + 10 × 40^3 t^2 +\\+ 10 × 40^2 t^3 + 5 × 40t^4 + t^5); \]

\begin{align*}\text{отже}\; \dfrac{dP}{dt} = &\dfrac{1}{537.824 × 10^5}\\ &(5 × 40^4 + 20 × 40^3 t + 30 × 40^2 t^2 + 20 × 40t^3 + 5t^4), \end{align*}

якщо $t = 100$, це становить $0.036$ атмосфери на зміну температури на один градус Цельсія.

Вправи III

(1) Диференціюйте