Вводимо корисний трюк

Трюк для зміни складності наступний: запишіть якийсь символ, наприклад $u$, для виразу $x^2 + a^2$; тоді рівняння стає \[ y = u^{\frac{3}{2}}, \] і ним ви можете легко керувати: для \[ \frac{dy}{du} = \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}. \] Потім візьмемось за вираз \[ u = x^2 + a^2, \] і продиференціюємо його відносно $x$, \[ \frac{du}{dx} = 2x. \] Тоді все, що залишається: \begin{align*} \text{оскільки}\; \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx}; \\ \text{тобто}\; \frac{dy}{dx} &= \frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}} × 2x \\ &= \tfrac{3}{2} (x^2 + a ^2)^{\frac{1}{2}} × 2x \\ &= 3x(x^2 + a^2)^{\frac{1}{2}}, \end{align*} і все зроблено.

Згодом, коли ви навчитеся працювати з синусами, косинусами та експонентами, ви побачите, що ця хитрість стає все більш корисною.

Приклади

Попрактикуймо цей трюк на кількох прикладах.

Нехай $a+x = u$. \begin{align*} \frac{du}{dx} &= 1;\quad y=u^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du} = \tfrac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} = \tfrac{1}{2} (a+x)^{-\frac{1}{2}}.\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{a+x}}. \end{align*}

(2) Продиференціюйте $y = \dfrac{1}{\sqrt{a+x^2}}$.

Нехай $a + x^2 = u$. \begin{align*} \frac{du}{dx} &= 2x;\quad y=u^{-\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du} = -\tfrac{1}{2}u^{-\frac{3}{2}}.\\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}×\frac{du}{dx} = - \frac{x}{\sqrt{(a+x^2)^3}}. \end{align*}

(3) Продиференціюйте $y = \left(m - nx^{\frac{2}{3}} + \dfrac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^a$.

Нехай $m - nx^{\frac{2}{3}} + px^{-\frac{4}{3}} = u$. \begin{align*} \frac{du}{dx} &= -\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} - \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}};\\ y &= u^a;\quad \frac{dy}{du} = a u^{a-1}. \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}×\frac{du}{dx} = \\ &= -a\left(m -nx^{\frac{2}{3}} + \frac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^{a-1} (\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} + \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}}). \end{align*}

Нехай $m - nx^{\frac{2}{3}} + px^{-\frac{4}{3}} = u$. \begin{align*} \frac{du}{dx} &= -\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} - \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}};\\ y &= u^a;\quad \frac{dy}{du} = a u^{a-1}. \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du}×\frac{du}{dx} = \\ &= -a\left(m -nx^{\frac{2}{3}} + \frac{p}{x^{\frac{4}{3}}}\right)^{a-1} (\tfrac{2}{3} nx^{-\frac{1}{3}} + \tfrac{4}{3} px^{-\frac{7}{3}}). \end{align*}

(4) Продиференціюйте $y=\dfrac{1}{\sqrt{x^3 - a^2}}$.

Нехай $u = x^3 - a^2$. \begin{align*} \frac{du}{dx} &= 3x^2;\quad y = u^{-\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{du}=-\frac{1}{2}(x^3 - a^2)^{-\frac{3}{2}}. \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx} = -\frac{3x^2}{2\sqrt{(x^3 - a^2)^3}}. \end{align*}

Запишемо це як $y=\dfrac{(1-x)^{\frac{1}{2}}}{(1+x)^{\frac{1}{2}}}$. \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}}\, \dfrac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} - (1-x)^{\frac{1}{2}}\, \dfrac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx}}{1+x}. \]

Запишемо це як $y=\dfrac{(1-x)^{\frac{1}{2}}}{(1+x)^{\frac{1}{2}}}$. \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}}\, \dfrac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} - (1-x)^{\frac{1}{2}}\, \dfrac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx}}{1+x}. \]

(Ми також можемо написати $y = (1-x)^{\frac{1}{2}} (1+x)^{-\frac{1}{2}}$ і диференціювати як добуток.)

Діючи, як у прикладі (1) вище, ми отримуємо \[ \frac{d(1-x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{1 -x}}; \\ \quad\text{ та }\quad \frac{d(1+x)^{\frac{1}{2}}}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}. \]

Отже, \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= - \frac{(1 + x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1-x}} - \frac{(1 - x)^{\frac{1}{2}}}{2(1 + x)\sqrt{1+x}} \\ &= - \frac{1}{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}} - \frac{\sqrt{1-x}}{2 \sqrt{(1+x)^3}};\\ \text{ або } \frac{dy}{dx} &= - \frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}. \end{align*}

(6) Продиференціюйте $y = \sqrt{\dfrac{x^3}{1+x^2}}$.

Ми можемо записати це як \begin{gather*} y = x^{\frac{3}{2}}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}; \\ \frac{dy}{dx} = \tfrac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}(1 + x^2)^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} × \frac{d\bigl[(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}. \end{gather*}

Диференціюючи $(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}$, як показано у прикладі (2) вище, ми отримуємо \[ \frac{d\bigl[(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\bigr]}{dx} = - \frac{x}{\sqrt{(1+x^2)^3}}; \] так що \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{1+x^2}} - \frac{\sqrt{x^5}}{\sqrt{(1+x^2)^3}} = \frac{\sqrt{x}(3+x^2)}{2\sqrt{(1+x^2)^3}}. \]

(7) Продиференціюйте $y=(x+\sqrt{x^2+x+a})^3$.

Нехай $x+\sqrt{x^2+x+a}=u$. \begin{gather*} \frac{du}{dx} = 1 + \frac{d\bigl[(x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}\bigr]}{dx}. \\ y = u^3;\quad \\ \text{та }\quad \frac{dy}{du} = 3u^2= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2. \end{gather*}

Тепер нехай $(x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}=v$ і $(x^2+x+a) = w$. \begin{align*} \frac{dw}{dx} &= 2x+1;\quad v = w^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dv}{dw} = \tfrac{1}{2}w^{-\frac{1}{2}}. \\ \frac{dv}{dx} &= \frac{dv}{dw} × \frac{dw}{dx} = \tfrac{1}{2}(x^2+x+a)^{-\frac{1}{2}}(2x+1). \\ \frac{du}{dx} &= 1 + \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx}\\ &= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2 \left(1 +\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}\right). \end{align*}

Тепер нехай $(x^2+x+a)^{\frac{1}{2}}=v$ і $(x^2+x+a) = w$. \begin{align*} \frac{dw}{dx} &= 2x+1;\quad v = w^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dv}{dw} = \tfrac{1}{2}w^{-\frac{1}{2}}. \\ \frac{dv}{dx} &= \frac{dv}{dw} × \frac{dw}{dx} = \tfrac{1}{2}(x^2+x+a)^{-\frac{1}{2}}(2x+1). \\ \frac{du}{dx} &= 1 + \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}, \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} × \frac{du}{dx}\\ &= 3\left(x+\sqrt{x^2+x+a}\right)^2 \left(1 +\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}\right). \end{align*}

(8) Продиференціюйте $y=\sqrt{\dfrac{a^2+x^2}{a^2-x^2}} \sqrt[3]{\dfrac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}$.

Ми отримуємо \begin{align*} y &= \frac{(a^2+x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2-x^2)^{\frac{1}{3}}} {(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2+x^2)^{\frac{1}{3}}} = \\ &= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}. \\ \frac{dy}{dx} &= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{d\bigl[(a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}\bigr]}{dx} + \frac{d\bigl[(a^2+x^2)^{\frac{1}{6}}\bigr]}{(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}}\, dx}. \end{align*}

Ми отримуємо \begin{align*} y &= \frac{(a^2+x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2-x^2)^{\frac{1}{3}}} {(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2+x^2)^{\frac{1}{3}}} = \\ &= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}. \\ \frac{dy}{dx} &= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{d\bigl[(a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}\bigr]}{dx} + \frac{d\bigl[(a^2+x^2)^{\frac{1}{6}}\bigr]}{(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}}\, dx}. \end{align*}

Нехай $u = (a^2-x^2)^{-\frac{1}{6}}$ і $v = (a^2 - x^2)$. \begin{align*} u &= v^{-\frac{1}{6}};\quad \frac{du}{dv} = -\frac{1}{6}v^{-\frac{7}{6}};\quad \frac{dv}{dx} = -2x. \\ \frac{du}{dx} &= \frac{du}{dv} × \frac{dv}{dx} = \frac{1}{3}x(a^2-x^2)^{-\frac{7}{6}}. \end{align*}

Нехай $w = (a^2 + x^2)^{\frac{1}{6}}$ і $z = (a^2 + x^2)$. \begin{align*} w &= z^{\frac{1}{6}};\quad \frac{dw}{dz} = \frac{1}{6}z^{-\frac{5}{6}};\quad \frac{dz}{dx} = 2x. \\ \frac{dw}{dx} &= \frac{dw}{dz} × \frac{dz}{dx} = \frac{1}{3} x(a^2 + x^2)^{-\frac{5}{6}}. \end{align*}

Отже \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{7}{6}}} + \\ &+ \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2+x^2)^{\frac{5}{6}}}; \\ \text { або } \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{x}{3} \left[\sqrt[6]{\frac{a^2+x^2}{(a^2-x^2)^7}} + \frac{1}{\sqrt[6]{(a^2-x^2)(a^2+x^2)^5]}} \right]. \end{align*}

Отже \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= (a^2+x^2)^{\frac{1}{6}} \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{7}{6}}} + \frac{x}{3(a^2-x^2)^{\frac{1}{6}} (a^2+x^2)^{\frac{5}{6}}}; \\ \text { або } \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{x}{3} \left[\sqrt[6]{\frac{a^2+x^2}{(a^2-x^2)^7}} + \frac{1}{\sqrt[6]{(a^2-x^2)(a^2+x^2)^5]}} \right]. \end{align*}

(9) Продиференціюйте $y^n$ відносно $y^5$. \[ \frac{d(y^n)}{d(y^5)} = \frac{ny^{n-1}}{5y^{5-1}} = \frac{n}{5} y^{n-5}. \]

Нехай $\bigl[(a-x)x\bigr]^{\frac{1}{2}} = u$ і нехай $(a-x)x = w$; тоді $u = w^{\frac{1}{2}}$. \[ \frac{du}{dw} = \frac{1}{2} w^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2w^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{(a-x)x}}. \] \begin{align*} &\frac{dw}{dx} = a-2x.\\ &\frac{du}{dw} × \frac{dw}{dx} = \frac{du}{dx} = \frac{a-2x}{2\sqrt{(a-x)x}}. \end{align*}

Отже \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x(a-2x)}{2b\sqrt{(a-x)x}} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b} = \frac{x(3a-4x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}. \]

Отже \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x(a-2x)}{2b\sqrt{(a-x)x}} + \frac{\sqrt{(a-x)x}}{b} = \frac{x(3a-4x)}{2b\sqrt{(a-x)x}}. \]

Тепер \begin{align*} \frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{2b \sqrt{(a-x)x}\, (3a-8x) - \dfrac{(3ax-4x^2)b(a-2x)}{\sqrt{(a-x)x}}} {4b^2(a-x)x} \\ &= \frac{3a^2-12ax+8x^2}{4b(a-x)\sqrt{(a-x)x}}. \end{align*}

Тепер \begin{align*} \frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{2b \sqrt{(a-x)x}\, (3a-8x) - \dfrac{(3ax-4x^2)b(a-2x)}{\sqrt{(a-x)x}}} {4b^2(a-x)x} \\ &= \frac{3a^2-12ax+8x^2}{4b(a-x)\sqrt{(a-x)x}}. \end{align*}

Вправи VI

Продиференцюйте наступні вирази:

(1) $y = \sqrt{x^2 + 1}$.

(2) $y = \sqrt{x^2+a^2}$.

(3) $y = \dfrac{1}{\sqrt{a+x}}$.

(4) $y = \dfrac{a}{\sqrt{a-x^2}}$.

(5) $y = \dfrac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^2}$.

(6) $y = \dfrac{\sqrt[3]{x^4+a}}{\sqrt[2]{x^3+a}}$.

(7) $y = \dfrac{a^2+x^2}{(a+x)^2}$.

(8) Продиференціюйте $y^5$ відносно $y^2$.

(9) Продиференціюйте $y = \dfrac{\sqrt{1 - \theta^2}}{1 - \theta}$.

Відповіді

(1) $\dfrac{x}{\sqrt{ x^2 + 1}}$.

(2) $\dfrac{x}{\sqrt{ x^2 + a^2}}$.

(3) $- \dfrac{1}{2 \sqrt{(a + x)^3}}$.

(4) $\dfrac{ax}{\sqrt{(a - x^2)^3}}$.

(5) $\dfrac{2a^2 - x^2}{x^3 \sqrt{ x^2 - a^2}}$.

(6) $ \dfrac{\frac{3}{2} x^2 \left[ \frac{8}{9} x \left( x^3 + a \right) - \left( x^4 + a \right) \right]}{(x^4 + a)^{\frac{2}{3}} (x^3 + a)^{\frac{3}{2}}}$

(7) $\dfrac{2a \left(x - a \right)}{(x + a)^3}$.

(8) $\frac{5}{2} y^3$.

(9) $\dfrac{1}{(1 - \theta) \sqrt{1 - \theta^2}}$.

Процес можна розширити до трьох або більше похідних, так що $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dz} × \dfrac{dz}{dv} × \dfrac{dv}{dx} $.

Приклади (1) Якщо $z = 3x^4$;   $v = \dfrac{7}{z^2}$;   $y =\sqrt{1+v}$, знайдемо $\dfrac{dv}{dx}$.

Ми маємо \begin{align*} \frac{dy}{dv} &= \frac{1}{2\sqrt{1+v}};\quad \frac{dv}{dz} = -\frac{14}{z^3};\quad \frac{dz}{dx} = 12x^3. \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{168x^3}{(2\sqrt{1+v})z^3} = -\frac{28}{3x^5\sqrt{9x^8+7}}. \end{align*}

(2) Якщо $t = \dfrac{1}{5\sqrt{\theta}}$;   $x = t^3 + \dfrac{t}{2}$;   $v = \dfrac{7x^2}{\sqrt[3]{x-1}}$, знайдемо $\dfrac{dv}{d\theta}$. \[ \frac{dv}{dx} = \frac{7x(5x-6)}{3\sqrt[3]{(x-1)^4}};\quad \frac{dx}{dt} = 3t^2 + \tfrac{1}{2};\quad \\ \frac{dt}{d\theta} = -\frac{1}{10\sqrt{\theta^3}}. \\ Отже \; \frac{dv}{d\theta} = -\frac{7x(5x-6)(3t^2+\frac{1}{2})} {30\sqrt[3]{(x-1)^ 4} \sqrt{\theta^3}}, \] це вираз, у якому $x$ має бути замінено на його значення, і $t$ на його значення виражене через $\theta$.

(3) Якщо $\theta = \dfrac{3a^2x}{\sqrt{x^3}}$;   $\omega = \dfrac{\sqrt{1-\theta^2}}{1+\theta}$;   and $\phi = \sqrt{3} - \dfrac{1}{\omega\sqrt{2}}$, знайти $\dfrac{d\phi}{dx}$.