Протягом усієї книги ми матимемо справу з величинами, що зростають, і темпами їх зростання. Ми поділяємо всі величини на два класи: константи та змінні. Ті, які ми вважаємо фіксованими, і називаємо константами, ми зазвичай позначаємо алгебраїчно літерами з початку алфавіту, наприклад $a$, $b$ або $c$; тоді як ті, які ми вважаємо здатними до зростання або (як кажуть математики) «варіювання», ми позначаємо літерами з кінця алфавіту, наприклад $x$, $y$, $z$, $u$, $v$, $w$ або іноді $t$.
Крім того, ми зазвичай маємо справу з більш ніж однією змінною одночасно і думаємо про те, як одна змінна залежить від іншої: наприклад, як висота, досягнута снарядом, залежить від часу досягнення цієї висоти. Або нас просять розглянути прямокутник з фіксованою площею та запитати, як будь-яке збільшення його довжини призведе до відповідного зменшення його ширини. Або ми думаємо про те, як будь-яка зміна нахилу драбини призведе до зміни висоти, якої вона досягає.
Припустимо, що ми маємо дві такі змінні, що залежать одна від одної. Зміна в одній з них спричинить зміни в іншій, через цю залежність. Назвемо одну зі змінних $x$, а іншу, що залежить від неї, $y$.
Припустімо, що ми змінюємо $x$, тобто ми або змінюємо її, або уявляємо, що вона змінюється, додаючи до неї частинку, яку ми називаємо $dx$. Тим самим, ми перетворюємо $x$ на $x + dx$. Тоді, оскільки $x$ було змінено, $y$ також зміниться і стане $y + dy$. Тут частинка $dy$ може бути в одних випадках позитивною, в інших — негативною; і вона не буде (хіба що за збігом) мати такий самий розмір, як $dx$.
Візьмемо два приклади.
(1) Нехай $x$ і $y$ є відповідно шириною і висотою прямокутного трикутника (Зображення 4), кут нахилу гіпотенузи якого фіксований на $30°$. Якщо ми припустимо, що цей трикутник збільшується, але його кути залишаються незмінними, тоді, коли основа росте так, щоб стати $x + dx$, висота стає $y + dy$. Тобто, збільшення $x$ призводить до збільшення $y$. Маленький трикутник, висота якого $dy$, а основа $dx$, є подібним до початкового трикутника; і вочевидь, що значення відношення $\dfrac{dy}{dx}$ таке ж саме, як і відношення $\dfrac{y}{x}$. Оскільки кут становить $30°$, ми бачимо, що \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1.73}. \]
(2) Нехай $x$ на Зображенні 5 представляє горизонтальну відстань від стіни до нижнього кінця драбини $AB$ фіксованої довжини; і нехай $y$ буде висотою, яку драбина досягає на стіні. Тут $y$ явно залежить від $x$. Легко побачити, що якщо відтягнути нижній кінець $A$ трохи далі від стіни, то верхній кінець $B$ опуститься трохи нижче. Скажемо це науковою мовою. Якщо ми збільшимо $x$ до $x + dx$, то $y$ стане $y - dy$; тобто коли $x$ отримує позитивний приріст, приріст, що отримує $y$, є негативним.
Так, але на скільки? Припустімо, що драбина була такою високою, що коли нижній кінець $A$ знаходився у $19$ дюймах від стіни, верхній кінець $B$ досягав $15$ футів від землі. Тепер, якщо ми посунемо нижній кінець драбини ще на $1$ дюйм, на скільки опуститься верхній кінець? Переведемо все в дюйми: $x = 19$ дюймів, $y = 180$ дюймів. Далі, приріст $x$, який ми називаємо $dx$, становить $1$ дюйм: або $x + dx = 20$ дюймів.
На скільки зменшиться $y$? Нова висота буде $y - dy$. Якщо ми розрахуємо висоту відповідно до теореми Піфагора, то зможемо знайти, яким буде $dy$. Довжина драбини: \[ \sqrt{ (180)^2 + (19)^2 } = 181 \text{ дюйм}. \] Зрозуміло, що нова висота, яка дорівнює $y - dy$, буде такою, що
\begin{align*} (y - dy)^2 &= (181)^2 - (20)^2 = 32761 - 400 = 32361, \\ y - dy &= \sqrt{32361} = 179.89 \text{ дюйми}. \end{align*}
\begin{align*} (y - dy)^2 &= (181)^2 - (20)^2 = 32761 - 400 = 32361, \\ y - dy &= \sqrt{32361} = 179.89 \text{ дюйми}. \end{align*}
Далі, $y$ дорівнює $180$, тож $dy$ дорівнює $180 - 179.89 = 0.11$ дюйми.
Отже, ми бачимо, що збільшення $dx$ на $1$ дюйм призвело до зменшення $dy$ на $0.11$ дюйми.
А відношення $dy$ до $dx$ можна виразити як: \[ \frac{dy}{dx} = - \frac{0.11}{1}. \]
Також легко побачити, що (крім однієї конкретної позиції) розмір $dy$ буде відрізнятися від розміру $dx$.
І так, упродовж всього диференціального числення ми шукаємо, шукаємо і шукаємо одну цікаву річ - просте співвідношення, а саме, пропорцію, яку $dy$ має до $dx$, коли обидва вони нескінченно малі.
Тут слід зазначити, що ми можемо знайти це співвідношення $\dfrac{dy}{dx}$ лише тоді, коли $y$ і $x$ певним чином пов’язані між собою, тож коли $x$ змінюється, $y$ змінюється також. Наприклад, у першому, щойно розглянутому прикладі, якщо ширину $x$ трикутника зробити довшою, висота $y$ трикутника також стане більшою, а в другому прикладі, якщо відстань $x$ від основи драбини до стіни збільшити, висота $y$, досягнута драбиною, зменшується відповідним чином, спочатку повільно, але все швидше і швидше, поки $x$ стає більшим. У цих випадках відношення між $x$ і $y$ є абсолютно визначеним, його можна виразити математично, а саме $\dfrac{y}{x} = \tan 30°$ та $x^2 + y^2 = l ^2$ (де $l$ — довжина драбини) відповідно, і $\dfrac{dy}{dx}$ має значення, яке ми знайшли в кожному випадку.
Якщо $x$, як і раніше, є відстанню підніжжя драбини до стіни, а $y$ замість досягнутої висоти є горизонтальною довжиною стіни або кількістю цеглин у ній, або кількістю років, що минуло з моменту побудови, будь-яка зміна в $x$ природно не призведе до жодних змін в $y$; у цьому випадку $\dfrac{dy}{dx}$ не має жодного значення, і неможливо знайти для нього вираз. Щоразу, коли ми використовуємо диференціали $dx$, $dy$, $dz$ тощо, мається на увазі існування якогось відношення між $x$, $y$, $z$, і це відношення називається «функцію» від $x$, $y$, $z$ тощо. Наприклад, два вирази, наведені вище, а саме $\dfrac{y}{x} = \tan 30°$ і $x^2 + y^2 = l^2$, є функціями від $x$ та $y$. Такі вирази неявно містять (тобто містять, не показуючи це явно) способи вираження $x$ через $y$ або $y$ через $x$, і з цієї причини вони називаються неявними функціями від $x$ та $y$; їх можна відповідно помістити у форми \begin{align*} y &= x \tan 30° \quad\text{або}\quad x = \frac{y}{\tan 30°} \\ \text{та }\; y &= \sqrt{ l^2 - x^2} \quad\text{або}\quad x = \sqrt{ l^2 - y^2}. \end{align*}
Ці останні вирази явно виражають значення $x$ через $y$ або $y$ через $x$, і з цієї причини вони називаються явними функціями від $x$ або $y$. Наприклад, $x^2 + 3 = 2y - 7$ є неявною функцією від $x$ і $y$; її можна записати як $y = \dfrac{x^2 + 10}{2}$ (явна функція від $x$) або $x = \sqrt{2y - 10}$ (явна функція від $y$). Ми бачимо, що явна функція від $x$, $y$, $z$ тощо — це просто щось, значення чого змінюється, коли змінюються $x$, $y$, $z$ тощо, або кожен окремо, або декілька разом. Через це значення явної функції називається залежною змінною, оскільки залежить від значення інших змінних величин у функції; ці інші змінні називаються незалежними змінними, тому що їх значення не виражене значенням, прийнятим функцією. Наприклад, якщо $u = x^2 \sin \theta$, тоді $x$ і $\theta$ є незалежними змінними, а $u$ є залежною.
Іноді точний зв'язок між кількома величинами $x$, $y$, $z$ або невідомий, або його незручно формулювати; відомо лише, або зручно стверджувати, що існує певний зв’язок між цими змінними, тому неможливо змінити ані $x$, ані $y$, ані $z$ окремо, не впливаючи на інші величини; існування функції від $x$, $y$, $z$ тоді вказується за допомогою позначення $F(x, y, z)$ (неявна функція) або $x = F(y, z)$, $y = F(x, z)$ або $z = F(x, y)$ (явна функція). Іноді замість $F$ використовується літера $f$ або $\phi$, так що $y = F(x)$, $y = f(x)$ та $y = \phi(x)$ означають одне і те саме - що значення $y$ залежить від значення $x$ у якийсь спосіб, який не зазначено.
Ми називаємо співвідношення $\dfrac{dy}{dx}$ «похідною функції $y$ по змінній $x$». Це урочиста наукова назва цієї дуже простої речі. Але нас не лякають урочисті назви, коли самі речі дуже прості. Замість того, щоб лякатися, ми просто, розвантаживши розум, перейдемо до простої речі, а саме до співвідношення $\dfrac{dy}{dx}$.
У звичайній алгебрі, яку ви вивчали в школі, ви завжди шукали якусь невідому величину, яку називали $x$ або $y$; або іноді були дві невідомі величини, за якими слід полювати одночасно. Тепер вам доведеться навчитися полювати по-новому; лисиця тепер ані $x$, ані $y$. Натомість вам доведеться полювати на цікаве щеня, що зветься $\dfrac{dy}{dx}$. Процес знаходження значення $\dfrac{dy}{dx}$ називається «диференціюванням». Але пам’ятайте - все, що потрібно, це знайти значення цього відношення, коли $dy$ і $dx$ є нескінченно малими. Істинним значенням похідної є те, до якого вона наближається у граничному випадку, коли кожен з диференціалів розглядається як нескінченно малий.
Тепер дізнаймось, як шукати $\dfrac{dy}{dx}$.
Ніколи не варто вдаватись до помилки школяра, гадаючи, що $dx$ означає $d$, помножене на $x$, оскільки $d$ не є множником – він означає «приріст» або «малу частинку» того, що йде далі. $dx$ читається так: «де-ікс».
У випадку, якщо у читача немає нікого, хто б наставляв його в таких питаннях,
можна просто зазначити, що похідні читаються наступним чином:
$\dfrac{dy}{dx}$ читається як “де-ігрек по де-ікс.”
Так само $\dfrac{du}{dt}$ читається “де-ю по де-те.”
Пізніше будуть розглянуті похідні другого порядку. Вони виглядають так: $\dfrac{d^2 y}{dx^2};$ що читається як «де-два-ігрек по де-ікс-квадрат», і це означає, що операція диференціювання $y$ відносно $x$ була (або повинна бути) виконана двічі.
Інший спосіб вказати, що функція була диференційована, - це поставити акцент
на символі функції. Таким чином, якщо $y=F(x)$, маючи на увазі, що $y$ є
деякою невизначеною функцією від $x$ (див. тут),
ми можемо написати $F'(x)$ замість $\dfrac{d\bigl(F(x)\bigr)}{dx}$. Подібним
чином $F''(x)$ означатиме, що початкову функцію $F(x)$ було двічі
диференційовано по $x$.