Спробуємо кілька разів повторити операцію диференціювання функції (див. тут). Почнемо з конкретного випадку.
Нехай $y = x^5$. \begin{alignat*}{3} &\text{Перше, } &&5x^4. && \\ &\text{друге, } &&5 × 4x^3 &&= 20x^3. \\ &\text{третє, } &&5 × 4 × 3x^2 &&= 60x^2. \\ &\text{четверте, } &&5 × 4 × 3 × 2x &&= 120x. \\ &\text{п'яте, } &&5 × 4 × 3 × 2 × 1 &&= 120. \\ &\text{шосте, } && &&= 0. \end{alignat*}
Є певна нотація, вже знайома нам (див. тут), яка використовується деякими авторами, що дуже зручно. Я маю на увазі використання загального символу $f(x)$ для будь-якої функції від $x$. Тут символ $f( )$ читається як «функція від» без вказівки, яка саме функція. Таким чином, вислів $y=f(x)$ просто говорить нам, що $y$ є функцією від $x$, що може бути $x^2$ або $ax^n$, або $\cos x$, або будь-яка інша складна функція від $x$.
Відповідний символ для похідної — $f'(x)$, що простіше записати, ніж $\dfrac{dy}{dx}$. Це називається «похідною функцією» від $x$.
Припустимо, що ми диференціюємо знову, тоді ми отримаємо «другу похідну функцію», яка позначається $f''(x)$; і так далі.
Тепер давайте узагальнимо.
Нехай $y = f(x) = x^n$.
\begin{align*} \text{Перше}\; f'(x) = nx^{n-1}. \\ \text{друге,}\; f''(x) = n(n-1)x^{n-2}. \\ \text{третє,}\; f'''(x) = n(n-1)(n-2)x^{n-3}. \\ \text{четверте,}\; f''''(x) = n(n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}. \\ \llap{\text{і т.д.,}} \text{ і т.д.} \end{align*}
\begin{align*} \text{Перше}\; f'(x) &= nx^{n-1}. \\ \text{друге,}\; f''(x) &= n(n-1)x^{n-2}. \\ \text{третє,}\; f'''(x) &= n(n-1)(n-2)x^{n-3}. \\ \text{чeтверте,}\; f''''(x) &= n(n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}. \\ &\llap{\text{і т.д.,}} \text{ і т.д.} \end{align*}
Але це не єдиний спосіб позначати багаторазове диференціювання. Якщо \begin{align*} \text{початкова функція це}\; y &= f(x); \\ \text{перше диференціювання дає}\; \frac{dy}{dx} &= f'(x); \\ \text{друге}\; \frac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx} &= f''(x); \end{align*} і це зручніше записати як $\dfrac{d^2y}{(dx)^2}$, або частіше $\dfrac{d^2y}{dx^2}$. Подібним чином ми можемо записати як результат триразового диференціювання $\dfrac{d^3y}{dx^3} = f'''(x)$.
Приклади.
Тепер спробуймо $y = f(x) = 7x^4 + 3.5x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 2$. \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= f'(x) = 28x^3 + 10.5x^2 - x + 1, \\ \frac{d^2y}{dx^2} &= f''(x) = 84x^2 + 21x - 1, \\ \frac{d^3y}{dx^3} &= f'''(x) = 168x + 21, \\ \frac{d^4y}{dx^4} &= f''''(x) = 168, \\ \frac{d^5y}{dx^5} &= f'''''(x) = 0. \end{align*} Подібним чином, якщо $y = \phi(x) = 3x(x^2 - 4)$, \begin{align*} \phi'(x) &= \frac{dy}{dx} = 3\bigl[x × 2x + (x^2 - 4) × 1\bigr] = \\ &= 3(3x^2 - 4), \\ \phi''(x) &= \frac{d^2y}{dx^2} = 3 × 6x = 18x, \\ \phi'''(x) &= \frac{d^3y}{dx^3} = 18, \\ \phi''''(x) &= \frac{d^4y}{dx^4} = 0. \end{align*}
Знайдіть $\dfrac{dy}{dx}$ та $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ для наступних виразів:
(1) $y = 17x + 12x^2$.
(2) $y = \dfrac{x^2 + a}{x + a}$.
(3) $y = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1×2} + \dfrac{x^3}{1×2×3} + \dfrac{x^4}{1×2×3×4}$.
(4) Знайдіть 2-гу та 3-тю похідні функції у Вправах III. (тут), від № 1 до № 7, а також у наведених прикладах (тут), від № 1 до № 7.
(1) $17 + 24x$; $24$.
(2) $\dfrac{x^2 + 2ax - a}{(x + a)^2}$; $\dfrac{2a(a + 1)}{(x + a)^3}$.
(3) $1 + x + \dfrac{x^2}{1 × 2} + \dfrac{x^3}{1 × 2 × 3}$; $1 + x + \dfrac{x^2}{1 × 2}$.
Вправи III
(4) (Вправи III. ):
(1) (a ) $\dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d^3 y}{dx^3} = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \ldots$.
(b ) $2a$, $0$.
(c ) $2$, $0$.
(d ) $6x + 6a$, $6$.
(2) $-b$, $0$.
(3) $2$, $0$.
(4) $\begin{gathered}[t] 56440x^3 - 196212x^2 - 4488x + 8192. \\ 169320x^2 - 392424x - 4488. \end{gathered}$
(5) $2$, $0$.
(6) $371.80453x$, $371.80453$.
(7) $\dfrac{30}{(3x + 2)^3}$, $-\dfrac{270}{(3x + 2)^4}$.
Приклади
(1) $\dfrac{6a}{b^2} x$, $\dfrac{6a}{b^2}$.
(2) $\dfrac{3a \sqrt{b}} {2 \sqrt{x}} - \dfrac{6b \sqrt[3]{a}}{x^3}$, $\dfrac{18b \sqrt[3]{a}}{x^4} - \dfrac{3a \sqrt{b}}{4 \sqrt{x^3}}$.
(3) $\dfrac{2}{\sqrt[3]{\theta^8}} - \dfrac{1.056}{\sqrt[5]{\theta^{11}}}$, $\dfrac{2.3232}{\sqrt[5]{\theta^{16}}} - \dfrac{16}{3 \sqrt[3]{\theta^{11}}}$.
(4) $\begin{gathered}[t] 810t^4 - 648t^3 + 479.52t^2 - 139.968t + 26.64. \\ 3240t^3 - 1944t^2 + 959.04t - 139.968. \end{gathered}$
(5) $12x + 2$, $12$.
(6) $6x^2 - 9x$, $12x - 9$.
(7) $\begin{aligned}[t] &\dfrac{3}{4} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta}} +
\dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) +\dfrac{1}{4}
\left(\dfrac{15}{\sqrt{\theta^7}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \\
&\dfrac{3}{8} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}} -
\dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right)
-\dfrac{15}{8}\left(\dfrac{7}{\sqrt{\theta^9}} +
\dfrac{1}{\sqrt{\theta^7}}\right). \end{aligned}$