Багаторазове диференціювання | Математичний аналіз простими словами

Спробуємо кілька разів повторити операцію диференціювання функції (див. тут). Почнемо з конкретного випадку.

Нехай \(y = x^5\). \[\begin{alignat*}{3} &\text{Перше, } &&5x^4. && \\ &\text{друге, } &&5 × 4x^3 &&= 20x^3. \\ &\text{третє, } &&5 × 4 × 3x^2 &&= 60x^2. \\ &\text{четверте, } &&5 × 4 × 3 × 2x &&= 120x. \\ &\text{п'яте, } &&5 × 4 × 3 × 2 × 1 &&= 120. \\ &\text{шосте, } && &&= 0. \end{alignat*}\]

Є певна нотація, вже знайома нам (див. тут), яка використовується деякими авторами, що дуже зручно. Я маю на увазі використання загального символу \(f(x)\) для будь-якої функції від \(x\). Тут символ \(f( )\) читається як «функція від» без вказівки, яка саме функція. Таким чином, вислів \(y=f(x)\) просто говорить нам, що \(y\) є функцією від \(x\), що може бути \(x^2\) або \(ax^n\), або \(\cos x\), або будь-яка інша складна функція від \(x\).

Відповідний символ для похідної — \(f'(x)\), що простіше записати, ніж \(\dfrac{dy}{dx}\). Це називається «похідною функцією» від \(x\).

Припустимо, що ми диференціюємо знову, тоді ми отримаємо «другу похідну функцію», яка позначається \(f''(x)\); і так далі.

\[\begin{align*} \text{Перше}\; f'(x) &= nx^{n-1}. \\ \text{друге,}\; f''(x) &= n(n-1)x^{n-2}. \\ \text{третє,}\; f'''(x) &= n(n-1)(n-2)x^{n-3}. \\ \text{чeтверте,}\; f''''(x) &= n(n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}. \\ &\llap{\text{і т.д.,}} \text{ і т.д.} \end{align*}\]

Але це не єдиний спосіб позначати багаторазове диференціювання. Якщо \[\begin{align*} \text{початкова функція це}\; y &= f(x); \\ \text{перше диференціювання дає}\; \frac{dy}{dx} &= f'(x); \\ \text{друге}\; \frac{d\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx} &= f''(x); \end{align*}\] і це зручніше записати як \(\dfrac{d^2y}{(dx)^2}\), або частіше \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\). Подібним чином ми можемо записати як результат триразового диференціювання \(\dfrac{d^3y}{dx^3} = f'''(x)\).

Тепер спробуймо продиференціювати \(y = f(x) = 7x^4 + 3.5x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 2\). \[\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= f'(x) = 28x^3 + 10.5x^2 - x + 1, \\ \frac{d^2y}{dx^2} &= f''(x) = 84x^2 + 21x - 1, \\ \frac{d^3y}{dx^3} &= f'''(x) = 168x + 21, \\ \frac{d^4y}{dx^4} &= f''''(x) = 168, \\ \frac{d^5y}{dx^5} &= f'''''(x) = 0. \end{align*}\] Подібним чином, якщо \(y = \phi(x) = 3x(x^2 - 4)\), \[\begin{align*} \phi'(x) &= \frac{dy}{dx} = 3\bigl[x × 2x + (x^2 - 4) × 1\bigr] = \\ &= 3(3x^2 - 4), \\ \phi''(x) &= \frac{d^2y}{dx^2} = 3 × 6x = 18x, \\ \phi'''(x) &= \frac{d^3y}{dx^3} = 18, \\ \phi''''(x) &= \frac{d^4y}{dx^4} = 0. \end{align*}\]

Вправи IV

Знайдіть \(\dfrac{dy}{dx}\) та \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) для наступних виразів:

(3) \(y = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1×2} + \dfrac{x^3}{1×2×3} + \dfrac{x^4}{1×2×3×4}\).

(4) Знайдіть 2-гу та 3-тю похідні функції у Вправах III. (тут), від № 1 до № 7, а також у наведених прикладах (тут), від № 1 до № 7.

Відповіді

(3) \(1 + x + \dfrac{x^2}{1 × 2} + \dfrac{x^3}{1 × 2 × 3}\); \(1 + x + \dfrac{x^2}{1 × 2}\).

(1) (a ) \(\dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d^3 y}{dx^3} = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \ldots\).

(4) \(\begin{gathered}[t] 56440x^3 - 196212x^2 - 4488x + 8192. \\ 169320x^2 - 392424x - 4488. \end{gathered}\)

(2) \(\dfrac{3a \sqrt{b}} {2 \sqrt{x}} - \dfrac{6b \sqrt[3]{a}}{x^3}\), \(\dfrac{18b \sqrt[3]{a}}{x^4} - \dfrac{3a \sqrt{b}}{4 \sqrt{x^3}}\).

(3) \(\dfrac{2}{\sqrt[3]{\theta^8}} - \dfrac{1.056}{\sqrt[5]{\theta^{11}}}\),
\(\dfrac{2.3232}{\sqrt[5]{\theta^{16}}} - \dfrac{16}{3 \sqrt[3]{\theta^{11}}}\).

(4) \(\begin{gathered}[t] 810t^4 - 648t^3 + 479.52t^2 - 139.968t + 26.64. \\ 3240t^3 - 1944t^2 + 959.04t - 139.968. \end{gathered}\)

(7) \(\begin{aligned}[t] &\dfrac{3}{4} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta}} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}}\right) +\dfrac{1}{4} \left(\dfrac{15}{\sqrt{\theta^7}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right). \\ &\dfrac{3}{8} \left(\dfrac{1}{\sqrt{\theta^5}} - \dfrac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right) -\dfrac{15}{8}\left(\dfrac{7}{\sqrt{\theta^9}} + \dfrac{1}{\sqrt{\theta^7}}\right). \end{aligned}\)