Іноді ми зустрічаємо величини, які є функціями більш ніж однієї незалежної змінної. Таким чином, ми можемо отримати випадок, коли $y$ залежить від двох інших змінних величин, одну з яких ми назвемо $u$, а іншу — $v$. У символах \[ dy = \frac{\partial y}{\partial u}\, du + \dfrac{\partial y}{\partial v}\, dv; \] \[ y = f(u, v). \] Візьмемо найпростіший конкретний випадок. Нехай \[ y = u×v. \] Що нам робити? Якби ми розглядали $v$ як константу та проводили диференціювання відносно $u$, ми мали б отримати \[ dy_v = v\, du; \] або якщо ми розглядаємо $u$ як константу та диференціюємо відносно $v$, ми повинні отримати: \[ dy_u = u\, dv. \]
Маленькі літери, розміщені тут як нижні індекси, показують, яка величина в операції була прийнята як постійна.
Ще один спосіб вказати, що диференціювання було виконано частково, тобто було виконано лише щодо однієї з незалежних змінних, це записати похідні з грецькими дельтами, тобто $\partial$, замість маленьких $d$. Таким чином \begin{align*} \frac{\partial y}{\partial u} &= v, \\ \frac{\partial y}{\partial v} &= u. \end{align*}
Якщо ми підставимо ці значення замість $v$ і $u$ відповідно, ми отримаємо \[ dy_v = \frac{\partial y}{\partial u}\, du, \\ dy_u = \frac{\partial y} {\partial v}\, dv, \]
що називається частковими диференціалами.
Але, якщо ви замислитесь, то помітите, що повна зміна $y$ залежить від обох цих штук одночасно. Тобто, якщо обидві вони змінюються, справжній $dy$ слід записати як \[ dy = \frac{\partial y}{\partial u}\, du + \dfrac{\partial y}{\partial v }\, dv; \] і це називається повним диференціалом. У деяких книгах це пишеться як $dy = \left(\dfrac{dy}{du}\right)\, du + \left(\dfrac{dy}{dv}\right)\, dv$.
Приклад (1) Знайдіть часткові похідні виразу $w = 2ax^2 + 3bxy + 4cy^3$. Відповіді: \[ \left. \begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial x} &= 4ax + 3by. \\ \frac{\partial w}{\partial y} &= 3bx + 12cy^2. \end{aligned} \right\} \]
Перша отримана з припущенням, що $y$ константа, друга – якщо припустити, що $x$ є константою; тоді \[ dw = (4ax+3by)\, dx + (3bx+12cy^2)\, dy. \]
Приклад (2) Нехай $z = x^y$. Тоді, розглядаючи спочатку $y$, а потім $x$ як константу, ми отримуємо таким самим чином \[ \left. \begin{aligned} \dfrac{\partial z}{\partial x} &= yx^{y-1}, \\ \dfrac{\partial z}{\partial y} &= x^y × \log_\epsilon x, \end{aligned}\right\} \] тож $dz = yx^{y-1}\, dx + x^y \log_\epsilon x \, dy$.
Приклад (3) Конус із висотою $h$ і радіусом основи $r$ має об’єм $V=\frac{1}{3} \pi r^2 h$. Якщо його висота залишається незмінною, а $r$ змінюється, відношення зміни об’єму щодо радіуса відрізняється від відношення зміни об’єму до висоти, яке мало б місце, якби висота змінювалася, а радіус залишався постійним, тобто \[ \left. \begin{aligned} \frac{\partial V}{\partial r} &= \dfrac{2\pi}{3} rh, \\ \frac{\partial V}{\partial h} &= \dfrac{\pi}{3} r^2. \end{aligned}\right\} \]
Зміна об'єму, коли і радіус, і висота змінюються, визначається як $dV = \dfrac{2\pi}{3} rh\, dV + \dfrac{\pi}{3} r^2\, dh$.
Приклад (4) У наступному прикладі $F$ і $f$ позначають дві довільні функції будь-якої форми. Наприклад, це можуть бути синус-функції, чи експоненти, чи просто алгебраїчні функції двох незалежних змінних $t$ і $x$. Розуміючи це, візьмемо вираз \begin{align*} y &= F(x+at) + f(x-at), \\ \text{або,}\;\quad y &= F(w ) + f(v); \\ \text{де}\;\quad w &= x+at,\quad \text{і}\quad v = x-at. \\ \text{Тоді}\;\quad \frac{\partial y}{\partial x} &= \frac{\partial F(w)}{\partial w} · \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial f(v)}{\partial v} · \frac{\partial v}{\partial x} \\ &= F'(w) · 1 + f'(v) · 1 \end{align*} (де цифра $1$ це просто коефіцієнт при $x$ у $w$ та $v$) \begin{align*} \text{і}\; \ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} &= F''(w) + f''(v). && \\ \text{Також}\; \ \frac{\partial y}{\partial t} &= \frac{\partial F(w)}{\partial w} · \frac{\partial w}{\partial t} + \frac{\partial f(v)}{\partial v} · \frac{\partial v}{\partial t} \\ &= F'(w) · a - f'(v) a; \\ \text{і}\; \ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} &= F''(w)a^2 + f''(v)a^2; \\ \text{звідки}\; \ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} &= a^2\, \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}. \end{align*}
Це диференціальне рівняння має величезне значення в математичній фізиці.
Приклад (5) Знову розглянемо Вправу IX. № 4.
Нехай $x$ і $y$ — довжина двох частин мотузки. Третя частина $= 30-(x+y)$, а площа трикутника $A = \sqrt{s(sx)(sy)(s-30+x+y)}$, де $s$ — половина периметра, $15$, так що $A = \sqrt{15P}$, де
\begin{align*} P &= (15-x)(15-y)(x+y-15) \\ &= xy ^2 + x^2y - 15x^2 - 15y^2 - 45xy + 450x + 450y - 3375. \end{align*}
\begin{align*} P &= (15-x)(15-y)(x+y-15) \\ &= xy ^2 + x^2y - 15x^2 - 15y^2 - 45xy + 450x + 450y - 3375. \end{align*}
Очевидно, що $A$ є максимальною, коли $P$ є максимальним. \[ dP = \dfrac{\partial P}{\partial x}\, dx + \dfrac{\partial P}{\partial y}\, dy. \] Для максимуму (зрозуміло, що в цьому випадку це не буде мінімум), потрібно одночасно мати \[ \dfrac{\partial P}{\partial x} = 0 \quad\text{і}\quad \dfrac{ \partial P}{\partial y} = 0; \] тобто \begin{aligned} 2xy - 30x + y^2 - 45y + 450 &= 0, \\ 2xy - 30y + x^2 - 45x + 450 &= 0. \end{aligned}
Очевидним рішенням є $x=y$.
Якщо тепер ми введемо цю умову в значення $P$, отримаємо
\[ P = (15-x)^2 (2x-15) = 2x^3 - 75x^2 + 900x - 3375. \]
\[ P = (15-x)^2 (2x-15) = 2x^3 - 75x^2 + 900x - 3375. \]
Для максимуму або мінімуму $\dfrac{dP}{dx} = 6x^2 - 150x + 900 = 0$, що дає $x=15$ та $x=10$.
Зрозуміло, що $x=15$ дає мінімальну площу: $x=10$ дає максимум для $\dfrac{d^2 P}{dx^2} = 12x - 150$, що становить $+30$ для $x=15$ і $-30$ для $x =10$.
Приклад (6) Знайдіть розміри звичайного залізничного вугільного вагона з прямокутними торцями, щоб для заданого об’єму $V$ площа бортів і підлоги разом була якомога меншою.
Вагон являє собою відкритий зверху прямокутний ящик. Нехай $x$ — довжина, а $y$ — ширина; тоді глибина $\dfrac{V}{xy}$. Площа поверхні становить $S=xy + \dfrac{2V}{x} + \dfrac{2V}{y}$.
\begin{aligned} dS & = \frac{\partial S}{\partial x}\, dx + \frac{\partial S}{\partial y}\, dy = \\ & = \left(y - \frac{2V}{x^2}\right) dx + \left(x - \frac{2V}{y^2}\right) dy. \end{aligned} Для мінімуму (очевидно, тут це не буде максимум), \[ y - \frac{2V}{x^2} = 0,\quad x - \frac{2V}{y^2} = 0. \]
Тут також безпосереднім рішенням є $x = y$, так що $S = x^2 + \dfrac{4V}{x}\quad$, $\dfrac{dS}{dx}= 2x - \dfrac{4V }{x^2} =0$ для мінімуму та \[ x = \sqrt[3]{2V}. \]
(2) Знайдіть часткові похідні відносно $x$, $y$ і $z$ виразу \[ x^2yz + xy^2z + xyz^2 + x^2y^2z^2. \]
(3) Нехай $r^2 = (xa)^2 + (yb)^2 + (zc)^2$.
Знайдіть значення $\dfrac{\partial r}{\partial x} + \dfrac{\partial r}{\partial y} + \dfrac{\partial r}{\partial z}$. Знайдіть також значення $\dfrac{\partial^2r}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2r}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2r}{\partial z ^2}$.
(4) Знайдіть повний диференціал $y=u^v$.
(5) Знайдіть повний диференціал $y=u^3 \sin v$; $y = (\sin x)^u$; і $y = \dfrac{\log_\epsilon u}{v}$.
(6) Переконайтеся, що сума трьох величин $x$, $y$, $z$, чий добуток є константою $k$, є максимальною, коли ці три величини рівні.
(7) Знайдіть максимум або мінімум функції \[ u = x + 2xy + y. \]
(8) Правила поштового зв’язку стверджують, що жодна посилка не повинна бути такого розміру, що її довжина плюс обхват перевищують $6$ футів. Який найбільший об'єм можна надіслати поштою (a) у разі упаковки прямокутного поперечного перерізу; (b) у випадку упаковки круглого поперечного перерізу.
(9) Розділіть $\pi$ на $3$ частини так, щоб добуток їхніх синусів був максимальним або мінімальним.
(10) Знайдіть максимум або мінімум $u = \dfrac{\epsilon^{x+y}}{xy}$.
(11) Знайдіть максимум і мінімум \[ u = y + 2x - 2 \log_\epsilon y - \log_\epsilon x. \]
(12) Тельферажне відро заданої місткості має форму горизонтальної рівнобедреної трикутної призми з вершиною внизу та відкритою протилежною гранню. Знайдіть такі його розміри, щоб на його виготовлення було використано найменшу кількість листового заліза.
(1) $x^3 - 6x^2 y - 2y^2;\quad \frac{1}{3} - 2x^3 - 4xy$.
(2) $2xyz + y^2 z + z^2 y + 2xy^2 z^2$;
$2xyz + x^2 z + xz^2 + 2x^2 yz^2$;
$2xyz + x^2 y + xy^2 + 2x^2 y^2 z$.
(3)
$\dfrac{1}{r} \{ \left(x - a\right) + \left( y - b \right) + \left( z - c \right) \} = \dfrac{ \left( x + y + z \right) - \left( a + b + c \right) }{r}$; $\dfrac{3}{r}$.
$\dfrac{1}{r} \{ \left(x - a\right) + \left( y - b \right) + \left( z - c \right) \} = \dfrac{ \left( x + y + z \right) - \left( a + b + c \right) }{r}$; $\dfrac{3}{r}$.
(4) $dy = vu^{v-1}\, du + u^v \log_\epsilon u\, dv$.
(5) $dy = 3\sin v u^2\, du + u^3 \cos v\, dv$,
$dy = u \sin x^{u-1} \cos x\, dx + (\sin x)^u \log_\epsilon \sin x du$,
$dy = \dfrac{1}{v}\, \dfrac{1}{u}\, du - \log_\epsilon u \dfrac{1}{v^2}\, dv$.
(7) Мінімум для $x = y = -\frac{1}{2}$.
(8) (a) Довжина $2$ фути, ширина = глибина = $1$ фут, об'єм = $2$ кубічних фути. (b) Радіус = $\dfrac{2}{\pi}$ фути = $7.46$ дюймів, довжина = $2$ фути, об'єм = $2.54$.
(9) Усі три частини рівні; добуток максимальний.
(10) Мінімум для $x = y = 1$.
(11) Мін.: $x = \frac{1}{2}$ і $y = 2$.
(12) Кут при вершині $= 90°$; рівні сторони = довжина = $\sqrt[3]{2V}$.