Про справжні складні відсотки та закон органічного зростання

Але такий спосіб нарахування складних відсотків раз на рік насправді є не зовсім справедливим, адже навіть протягом першого року £$100$ повинні були зрости. Наприкінці пів року капітал мав становити принаймні £$105$, і, звичайно, було б справедливіше, якби відсотки за другу половину року були розраховані від £$105$. Це було б еквівалентно $5$% за пів року, з $20$ операціями, при кожній з яких капітал множиться на $\tfrac{21}{20}$. Якщо рахувати таким чином, до кінця десяти років капітал зріс би до £$265.32$. Для \[ (1 + \tfrac{1}{20})^{20} = 2.653. \]

Але, попри це, процес все ще не є зовсім справедливим, оскільки до кінця першого місяця вже будуть отримані певні відсотки, а піврічний розрахунок передбачає, що капітал залишається нерухомим протягом шести місяців. Припустімо, що ми розділили рік на $10$ частин і нараховуємо один відсоток за кожну десяту частину року. Тепер ми маємо $100$ операцій, що тривають протягом десяти років, або \[ y_n = £100 \left( 1 + \tfrac{1}{100} \right)^{100}, \] що становить £$270.48$.

І навіть це не кінцевим. Нехай десять років поділено на $1000$ періодів, кожен з яких становить $\frac{1}{100}$ року; відсотки становлять $\frac{1}{1000}$ за кожен такий період; тоді \[ y_n = £100 \left( 1 + \tfrac{1}{1000} \right)^{1000}, \] що становить £$271.69$.

Підемо ще дрібніше та розділимо десять років на частини по $10 000$, кожна з яких становить $\frac{1}{1000}$ року, зі ставкою $\frac{1}{100}$ від $1$ відсотка. Тоді \[ y_n = £100 \left( 1 + \tfrac{1}{10 000} \right)^{10 000}, \] що становить £$271.81$.

Зрештою, стане видно, що те, що ми намагаємося знайти, насправді є кінцевим значенням виразу $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$, яке, як ми бачимо, є більше $2$, і яке, коли ми беремо $n$ все більше і більше, стає все ближче і ближче до певного граничного значення. Яким би великим ви не робили $n$, значення цього виразу стає все ближчим до числа \[ 2.71828\ldots \] число, що має ніколи не бути забутим.

\begin{align*} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n &= 1 + 1 + \dfrac{1}{2!} \left(\dfrac{n - 1}{n}\right) + \dfrac{1}{3!} \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{n^2} \\ &\phantom{= 1 + 1\ } + \dfrac{1}{4!} \dfrac{(n - 1)(n - 2)( n - 3)}{n^3} + \text{і т.д.}. \end{align*}

\begin{align*} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n &= 1 + 1 + \dfrac{1}{2!} \left(\dfrac{n - 1}{n}\right) + \dfrac{1}{3!} \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{n^2} \\ &\phantom{= 1 + 1\ } + \dfrac{1}{4!} \dfrac{(n - 1)(n - 2)( n - 3)}{n^3} + \text{і т.д.}. \end{align*}

Тепер, якщо ми припустимо, що $n$ стане нескінченно великим, скажімо, мільярдом або мільярдом мільярдів, тоді $n – 1$, $n – 2$ і $n – 3$ тощо, усі будуть відчутно рівними до $n$; і тоді ряд стає \[ \epsilon = 1 + 1 + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!} + \text{і т.д.} \ldots \]

Розбираючи цей швидко збіжний ряд до будь-якої кількості членів, ми можемо отримати суму з будь-якою бажаною точністю. Ось опрацювання до десяти членів:

$\epsilon$ неспівмірне з $1$ і нагадує $\pi$ у тому, що являє собою нескінченний неперіодичний десятковий дріб.

Степеневий ряд. Нам знадобиться ще один ряд.

Давайте, знову використовуючи біноміальну теорему, розгорнемо вираз $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{nx}$, що є еквівалентним $\epsilon^x$, коли $n$ є нескінченно великим.

\begin{align*} \epsilon^x &= 1^{nx} + nx \frac{1^{nx-1} \left(\dfrac{1}{n}\right)}{1!} + nx(nx - 1) \frac{1^{nx - 2} \left(\dfrac{1}{n}\right)^2}{2!} \\ & \phantom{= 1^{nx}\ } + nx(nx - 1)(nx - 2) \frac{1^{nx-3} \left(\dfrac{1}{n}\right)^3}{3!} + \text{і т.д}.\\ &= 1 + x + \frac{1}{2!} · \frac{n^2x^2 - nx}{n^2} + \frac{1}{3!} · \frac{n^3x^3 - 3n^2x^2 + 2nx}{n^3} + \text{і т.д}. \\ &= 1 + x + \frac{x^2 -\dfrac{x}{n}}{2!} + \frac{x^3 - \dfrac{3x^2}{n} + \dfrac{2x}{n^2}}{3!} + \text{і т.д}. \end{align*}

\begin{align*} \epsilon^x &= 1^{nx} + nx \frac{1^{nx-1} \left(\dfrac{1}{n}\right)}{1!} + nx(nx - 1) \frac{1^{nx - 2} \left(\dfrac{1}{n}\right)^2}{2!} \\ & \phantom{= 1^{nx}\ } + nx(nx - 1)(nx - 2) \frac{1^{nx-3} \left(\dfrac{1}{n}\right)^3}{3!} + \text{і т.д}.\\ &= 1 + x + \frac{1}{2!} · \frac{n^2x^2 - nx}{n^2} + \frac{1}{3!} · \frac{n^3x^3 - 3n^2x^2 + 2nx}{n^3} + \text{і т.д}. \\ &= 1 + x + \frac{x^2 -\dfrac{x}{n}}{2!} + \frac{x^3 - \dfrac{3x^2}{n} + \dfrac{2x}{n^2}}{3!} + \text{і т.д}. \end{align*}

Але коли $n$ робиться нескінченно великим, це спрощується до: \[ \epsilon^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \text{і т.д.}\dots \]

Такий ряд називається степеневим.

\begin{align*} \frac{d(\epsilon^x)}{dx} &= 0 + 1 + \frac{2x}{1 · 2} + \frac{3x^2}{1 · 2 · 3} + \frac{4x^3}{1 · 2 · 3 · 4} \\ &\phantom{= 0 + 1 + \frac{2x }{1 · 2} + \frac{3x^2}{1 · 2 · 3}\ } + \frac{5x^4}{1 · 2 · 3 · 4 · 5} + \text{і т.д}. \\ або &= 1 + x + \frac{x^2}{1 · 2} + \frac{x^3}{1 · 2 · 3} + \frac{x^4}{1 · 2 · 3 · 4} + \text{і т.д.}, \end{align*}

\begin{align*} \frac{d(\epsilon^x)}{dx} &= 0 + 1 + \frac{2x}{1 · 2} + \frac{3x^2}{1 · 2 · 3} + \frac{4x^3}{1 · 2 · 3 · 4} \\ &\phantom{= 0 + 1 + \frac{2x }{1 · 2} + \frac{3x^2}{1 · 2 · 3}\ } + \frac{5x^4}{1 · 2 · 3 · 4 · 5} + \text{і т.д}. \\ або &= 1 + x + \frac{x^2}{1 · 2} + \frac{x^3}{1 · 2 · 3} + \frac{x^4}{1 · 2 · 3 · 4} + \text{і т.д.}, \end{align*}

що повністю збігається з оригінальним рядом.

Ми могли б підійти до задачі в інший спосіб і та запитати: знайдімо функцію від $x$ таку, що її похідна така сама, як і вихідна функція. Або чи існує якийсь вираз, що включає лише степені $x$, який не змінюється диференціюванням? Відповідно, припустімо як загальний вираз: \begin{align*} y &= A + Bx + Cx^2 + Dx^3 + Ex^4 + \text{і т.д}.,\\ \end{align*} (в якому коефіцієнти $A$, $B$, $C$ тощо мають бути знайдені) і диференціюємо його. \begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= B + 2Cx + 3Dx^2 + 4Ex^3 + \text{etc}. \end{align*}

Тепер, якщо цей новий вираз справді має бути таким самим, як той, з якого його було отримано, зрозуміло, що $A$ повинна $=B$; що $C=\dfrac{B}{2}=\dfrac{A}{1· 2}$; що $D = \dfrac{C}{3} = \dfrac{A}{1 · 2 · 3}$; що $E = \dfrac{D}{4} = \dfrac{A}{1 · 2 · 3 · 4}$ тощо.

Тим чином закон зміни полягає в тому, що

\[ y = A\left(1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1 · 2} + \dfrac{x^3}{1 · 2 · 3} + \dfrac{x^4}{1 · 2 · 3 · 4} + \text{і т.д}.\right). \]

\[ y = A\left(1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1 · 2} + \dfrac{x^3}{1 · 2 · 3} + \dfrac{x^4}{1 · 2 · 3 · 4} + \text{і т.д}.\right). \]

Якщо тепер ми візьмемо $A = 1$ для подальшої простоти, ми матимемо

\[ y = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1 · 2} + \dfrac {x^3}{1 · 2 · 3} + \dfrac{x^4}{1 · 2 · 3 · 4} + \text{і т.д.}. \]

\[ y = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1 · 2} + \dfrac {x^3}{1 · 2 · 3} + \dfrac{x^4}{1 · 2 · 3 · 4} + \text{і т.д.}. \]

Диференціюючи його будь-яку кількість разів, ви завжди отримаєте знову той самий ряд.

Якщо тепер ми візьмемо окремий випадок $A=1$ і обчислимо ряд, ми отримаємо просто

\begin{align*} \text{коли } x &= 1,\quad & y &= 2.718281 \text {і т.д.}; & \text{тобто } y &= \epsilon; \\ \text{коли } x &= 2,\quad & y &=(2.718281 \text{ і т.д.})^2; & \text{тобто } y &= \epsilon^2; \\ \text{коли } x &= 3,\quad & y &=(2.718281 \text{ і т.д.})^3; & \text{тобто } y &= \epsilon^3; \end{align*} і, отже, \[ \text{коли } x=x,\quad y=(2.718281 \text{ і т.д}.)^x;\quad\text{тобто } y=\epsilon^x , \]

\begin{align*} \text{коли } x &= 1,\quad & y &= 2.718281 \text {і т.д.}; & \text{тобто } y &= \epsilon; \\ \text{коли } x &= 2,\quad & y &=(2.718281 \text{ і т.д.})^2; & \text{тобто } y &= \epsilon^2; \\ \text{коли } x &= 3,\quad & y &=(2.718281 \text{ і т.д.})^3; & \text{тобто } y &= \epsilon^3; \end{align*} і, отже, \[ \text{коли } x=x,\quad y=(2.718281 \text{ і т.д}.)^x;\quad\text{тобто } y=\epsilon^x , \]

таким чином остаточно демонструючи, що

\[ \epsilon^x = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1·2} + \dfrac{x^3}{1· 2· 3} + \dfrac{x^4}{1· 2· 3· 4} + \text{і т.д.} \]

\[ \epsilon^x = 1 + \dfrac{x}{1} + \dfrac{x^2}{1·2} + \dfrac{x^3}{1· 2· 3} + \dfrac{x^4}{1· 2· 3· 4} + \text{і т.д.} \]

Звісно, з цього випливає, що $\epsilon^y$ залишається незмінним, якщо диференціювати його по $y$. Крім того, $\epsilon^{ax}$, що еквівалентно $(\epsilon^a)^x$, при диференціюванні по $x$ буде $a\epsilon^{ax}$, оскільки $a$ є константою.

Натуральні або Неперові логарифми.

Ще одна причина, чому $\epsilon$ важливий, полягає в тому, що Непер, винахідник логарифмів, зробив $\epsilon$ базисом своєї системи. Якщо $y$ є значенням $\epsilon^x$, то $x$ є логарифмом $y$ за основою $\epsilon$. Або, якщо \begin{align*} y &= \epsilon^x, \\ \text{тоді}\; x &= \log_\epsilon y. \end{align*}

Спочатку перейдемо до натурального логарифма, помноживши на $0.4343$. Це дає нам \begin{align*} y &= 0.4343 \log_\epsilon x; \\ \text{звідки}\; \frac{dy}{dx} &= \frac{0.4343}{x}. \end{align*}

Логарифмуючи обидві сторони, ми отримуємо \begin{align*} \log_\epsilon y &= x \log_\epsilon a, \\ \text{ або}\; x = \frac{\log_\epsilon y}{\log_\epsilon a} &= \frac{1}{\log_\epsilon a} × \log_\epsilon y. \end{align*}

Оскільки $\dfrac{1}{\log_\epsilon a}$ є константою, ми отримуємо \[ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\log_\epsilon a} × \frac{1} {y} = \frac{1}{a^x × \log_\epsilon a}; \] отже, інвертуючи до початкової функції. \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\;\dfrac{dx}{dy}\;} = a^x × \log_\epsilon a. \]

Ми бачимо, що, оскільки \[ \frac{dx}{dy} × \frac{dy}{dx} =1\quad\text{і}\quad \frac{dx}{dy} = \frac{1}{y} × \frac{1}{\log_\epsilon a}, \\ \frac{1}{y} × \frac{dy}{dx} = \log_\epsilon a. \]

Ми знайдемо, що коли у нас є такий вираз, як $\log_\epsilon y =$ функція від $x$, ми завжди маємо $\dfrac{1}{y}\, \dfrac{dy}{dx} =$ похідна функції від $x$, тож ми можемо відразу записати з $\log_\epsilon y = x \log_\epsilon a$, \[ \frac{1}{y}\, \frac {dy}{dx} = \log_\epsilon a\quad\text{і}\quad \frac{dy}{dx} = a^x \log_\epsilon a. \]

Тепер спробуємо навести додаткові приклади.

Приклади (1) $y=\epsilon^{-ax}$. Нехай $-ax=z$; тоді $y=\epsilon^z$. \[ \frac{dy}{dz} = \epsilon^z;\quad \frac{dz}{dx} = -a;\quad\text{отже}\quad \frac{dy}{dx} = -a \epsilon^{-ax}. \]

Або так: \[ \log_\epsilon y = -ax;\quad \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = -a; \\ \frac{dy}{dx} = - ay = -a\epsilon^{-ax}. \]

(2) $y=\epsilon^{\frac{x^2}{3}}$. Нехай $\dfrac{x^2}{3}=z$; тоді $y=\epsilon^z$. \[ \frac{dy}{dz} = \epsilon^z;\quad \frac{dz}{dx} = \frac{2x}{3};\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3}\, \epsilon^{\frac{x^2}{3}}. \]

Або так: \[ \log_\epsilon y = \frac{x^2}{3};\quad \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3 };\quad \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3}\, \epsilon^{\frac{x^2}{3}}. \]

(3) $y = \epsilon^{\frac{2x}{x+1}}$. \begin{align*} \log_\epsilon y &= \frac{2x}{x+1},\quad \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = \frac{2( x+1)-2x}{(x+1)^2}; \\ отже \frac{dy}{dx} &= \frac{2}{(x+1)^2} \epsilon^{\frac{2x}{x+1}}. \end{align*}

Перевірте, написавши $\dfrac{2x}{x+1}=z$.

(4) $y=\epsilon^{\sqrt{x^2+a}}$. $\log_\epsilon y=(x^2+a)^{\frac{1}{2}}$. \[ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = \frac{x}{(x^2+a)^{\frac{1}{2}}}\quad\text{і}\quad \frac{dy}{dx} = \frac{x × \epsilon^{\sqrt{x^2+a}}}{(x^2+a)^{\frac{1}{ 2}}}. \] А якщо $(x^2+a)^{\frac{1}{2}}=u$ і $x^2+a=v$, $u=v^{\frac{1}{2 }}$, \[ \frac{du}{dv} = \frac{1}{{2v}^{\frac{1}{2}}};\quad \frac{dv}{dx} = 2x; \quad \frac{du}{dx} = \frac{x}{(x^2+a)^{\frac{1}{2}}}. \]

Перевірте, написавши $\sqrt{x^2+a}=z$.

(5) $y=\log(a+x^3)$. Нехай $(a+x^3)=z$; тоді $y=\log_\epsilon z$. \[ \frac{dy}{dz} = \frac{1}{z};\quad \frac{dz}{dx} = 3x^2;\quad\text{отже}\quad \frac{dy}{ dx} = \frac{3x^2}{a+x^3}. \]

(6) $y=\log_\epsilon\{{3x^2+\sqrt{a+x^2}}\}$.

Нехай $3x^2 + \sqrt{a+x^2}=z$; тоді $y=\log_\epsilon z$. \begin{align*} \frac{dy}{dz} &= \frac{1}{z};\quad \frac{dz}{dx} = 6x + \frac{x}{\sqrt{x^2 +a}}; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{6x + \dfrac{x}{\sqrt{x^2+a}}}{3x^2 + \sqrt{a+x^2}} = \frac{x(1 + 6\sqrt{x^2+a})}{(3x^2 + \sqrt{x^2+a}) \sqrt{x^2+a}}. \end{align*}

Нехай $3x^2 + \sqrt{a+x^2}=z$; тоді $y=\log_\epsilon z$. \begin{align*} \frac{dy}{dz} &= \frac{1}{z};\quad \frac{dz}{dx} = 6x + \frac{x}{\sqrt{x^2 +a}}; \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{6x + \dfrac{x}{\sqrt{x^2+a}}}{3x^2 + \sqrt{a+x^2}} = \frac{x(1 + 6\sqrt{x^2+a})}{(3x^2 + \sqrt{x^2+a}) \sqrt{x^2+a}}. \end{align*}

(7) $y=(x+3)^2 \sqrt{x-2}$. \begin{align*} \log_\epsilon y &= 2 \log_\epsilon(x+3)+ \tfrac{1}{2} \log_\epsilon(x-2). \\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= \frac{2}{(x+3)} + \frac{1}{2(x-2)}; \\ \frac{dy}{dx} &= (x+3)^2 \sqrt{x-2} \left\{\frac{2}{x+3} + \frac{1}{2(x-2)}\right\}. \end{align*}

(8) $y=(x^2+3)^3(x^3-2)^{\frac{2}{3}}$. \begin{align*} \log_\epsilon y &= 3 \log_\epsilon(x^2+3) + \tfrac{2}{3} \log_\epsilon(x^3-2); \\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= 3 \frac{2x}{(x^2+3)} + \frac{2}{3} \frac{3x^2}{x^3-2} = \\ &= \frac{6x}{x^2+3} + \frac{2x^2}{x^3-2}. \end{align*} Якщо $y=\log_\epsilon(x^2+3)$, нехай $x^2+3=z$ і $u=\log_\epsilon z$. \[ \frac{du}{dz} = \frac{1}{z};\quad \frac{dz}{dx} = 2x;\quad \frac{du}{dx} = \frac{2x}{x^2+3}. \] Подібним чином, якщо $v=\log_\epsilon(x^3-2)$, $\dfrac{dv}{dx} = \dfrac{3x^2}{x^3-2}$ і \[ \frac{dy}{dx} = (x^2+3)^3(x^3-2)^{\frac{2}{3}} \left\{ \frac{6x}{x^2+3 } + \frac{2x^2}{x^3-2} \right\}. \]

(9) $y=\dfrac{\sqrt[2]{x^2+a}}{\sqrt[3]{x^3-a}}$. \begin{align*} \log_\epsilon y &= \frac{1}{2} \log_\epsilon(x^2+a) - \frac{1}{3} \log_\epsilon(x^3-a). \\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{2}\, \frac{2x}{x^2+a} - \frac{1}{3}\, \frac{3x^2}{x^3-a} = \\ &= \frac{x}{x^2+a} - \frac{x^2}{x^3-a} \\ і \frac{dy}{dx} &= \frac{\sqrt[2]{x^2+a}}{\sqrt[3]{x^3-a}} \left\{ \frac{x}{ x^2+a} - \frac{x^2}{x^3-a} \right\}. \end{align*}

(10) $y=\dfrac{1}{\log_\epsilon x}$ \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\log_\epsilon x × 0 - 1 × \dfrac{1}{x}} {\log_\epsilon^2 x} = -\frac{1}{x \log_\epsilon^2x}. \]

(11) $y=\sqrt[3]{\log_\epsilon x} = (\log_\epsilon x)^{\frac{1}{3}}$. Нехай $z=\log_\epsilon x$; $y=z^{\frac{1}{3}}$. \[ \frac{dy}{dz} = \frac{1}{3} z^{-\frac{2}{3}};\quad \frac{dz}{dx} = \frac{1}{x};\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3x \sqrt[3]{\log_\epsilon^2 x}}. \]

(12) $y=\left(\dfrac{1}{a^x}\right)^{ax}$. \begin{align*} \log_\epsilon y &= ax(\log_\epsilon 1 - \log_\epsilon a^x) = -ax \log_\epsilon a^x. \\ \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} &= -ax × a^x \log_\epsilon a - a \log_\epsilon a^x. \\ і \frac{dy}{dx} &= -\left(\frac{1}{a^x}\right)^{ax} (x × a^{x+1} \log_\epsilon a + a \log_\epsilon a^x). \end{align*}

Тепер спробуйте виконати наступні вправи.

Вправи XII

(1) Продиференціюйте $y=b(\epsilon^{ax} -\epsilon^{-ax})$.

(2) Знайдіть похідну виразу $u=at^2+2\log_\epsilon t$ відносно $t$.

(3) Якщо $y=n^t$, знайдіть $\dfrac{d(\log_\epsilon y)}{dt}$.

(4) Покажіть, що якщо $y=\dfrac{1}{b}·\dfrac{a^{bx}}{\log_\epsilon a}$, $\dfrac{dy}{dx}=a^{bx}$.

(5) Якщо $w=pv^n$, знайдіть $\dfrac{dw}{dv}$.

Продиференціюйте

(6) $y=\log_\epsilon x^n$.

(7) $y=3\epsilon^{-\frac{x}{x-1}}$.

(8) $y=(3x^2+1)\epsilon^{-5x}$.

(9) $y=\log_\epsilon(x^a+a)$.

(10) $y=(3x^2-1)(\sqrt{x}+1)$.

(11) $y=\dfrac{\log_\epsilon(x+3)}{x+3}$.

(12) $y=a^x × x^a$.

(13) Лорд Кельвін показав, що швидкість передачі сигналу через підводний кабель залежить від величини відношення зовнішнього діаметра сердечника до діаметра мідного дроту, що входить до нього. Якщо це співвідношення називається $y$, то кількість сигналів $s$, які можна надіслати за хвилину, можна виразити формулою \[ s=ay^2 \log_\epsilon \frac{1}{y}; \] де $a$ — константа, яка залежить від довжини та якості матеріалів. Покажіть, що якщо вони задані, $s$ буде максимальним, якщо $y=1 ÷ \sqrt{\epsilon}$.

(14) Знайдіть максимум або мінімум \[ y=x^3-\log_\epsilon x. \]

(15) Продиференціюйте $y=\log_\epsilon(ax\epsilon^x)$.

(16) Продиференціюйте $y=(\log_\epsilon ax)^3$.

Відповіді

(1) $ab(\epsilon^{ax} + \epsilon^{-ax})$.

(2) $2at + \dfrac{2}{t}$.

(3) $\log_\epsilon n$.

(5) $npv^{n-1}$.

(6) $\dfrac{n}{x}$.

(7) $\dfrac{3\epsilon^{- \frac{x}{x-1}}}{(x - 1)^2}$.

(8) $6x \epsilon^{-5x} - 5(3x^2 + 1)\epsilon^{-5x}$.

(9) $\dfrac{ax^{a-1}}{x^a + a}$.

(10) $\left(\dfrac{6x}{3x^2-1} + \dfrac{1}{2\left(\sqrt x + x\right)}\right) \left(3x^2-1\right)\left(\sqrt x + 1\right)$.

(11) $\dfrac{1 - \log_\epsilon \left(x + 3\right)}{\left(x + 3\right)^2}$.

(12) $a^x\left(ax^{a-1} + x^a \log_\epsilon a\right)$.

(14) Мін.: $y = 0.7$ для $x = 0.694$.

(15) $\dfrac{1 + x}{x}$.

(16) $\dfrac{3}{x} (\log_\epsilon ax)^2$.

Логарифмічна крива.

Повернімося до кривої, яка має свої послідовні ординати в геометричній прогресії, як-от представлена рівнянням $y=bp^x$.

Ми можемо побачити, поклавши $x=0$, що $b$ є початковою висотою $y$.

Тоді, коли \begin{align*} x&=1,\quad & y&=bp; \\ x&=2,\quad & y&=bp^2; \\ x&=3,\quad & y&=bp^3,\quad \text{і т.д.} \end{align*}