Інтегрування як зворотний до диференціювання процес

Диференціювання — це процес, за допомогою якого, коли нам задано $y$ (як функцію від $x$), ми можемо знайти $\dfrac{dy}{dx}$.

Як і будь-яка інша математична операція, процес диференціювання може бути оберненим: диференціювання $y = x^4$ дає нам $\dfrac{dy}{dx} = 4x^3$, тож, якщо почати з $\dfrac{dy}{dx} = 4x^3$, можна сказати, що обернення процесу дасть $y = x^4$. Але тут виникає цікавий момент. Ми отримаємо $\dfrac{dy}{dx} = 4x^3$, якщо почнемо з будь-якого з наступних виразів: $x^4$, або $x^4 + a$, або $x^4 + c$, або ж $x^4$ з будь-якою доданою константою. Таким чином, зрозуміло, що, працюючи у зворотному напрямку від $\dfrac{dy}{dx}$ до $y$, необхідно передбачити можливість наявності доданої константи, значення якої буде невизначеним, доки не буде встановлено у якийсь інший спосіб. Отже, якщо диференціювання $x^n$ дає $nx^{n-1}$, повертаючись назад від $\dfrac{dy}{dx} = nx^{n-1}$ ми матимемо $y = x^n + C$, де $C$ означає ще не визначену можливу константу.

Але коли ми підходимо до правої частини рівняння, ми повинні пам’ятати, що маємо підсумувати не всі $dx$, а всі такі члени, як $x^2\, dx$; і це не буде тим самим, що $x^2 \int dx$, оскільки $x^2$ не є константою. Тому що деякі з $dx$ будуть помножені на великі значення $x^2$, а деякі будуть помножені на малі значення $x^2$, відповідно до того, яким буде $x$. Отже, ми маємо подумати, що ми знаємо про процес інтегрування, який є протилежністю диференціювання. Наше правило для зворотного процесу при роботі з $x^n$ – див. вище – це «збільшити степінь на одиницю і поділити на те саме число, що й цей збільшений степінь». Тобто $x^2\, dx$ буде змінено * на $\frac{1}{3} x^3$. Помістіть це в рівняння, але не забудьте додати «константу інтегрування» $C$ в кінці. Тож, ми маємо: $$y = \tfrac{1}{3} x^3 + C.$$

$$\begin{align*} Нехай \dfrac{dy}{dx} &= ax^{12}, \end{align*}$$ де $a$ — будь-який простий множник. Раніше ми визначили, що при диференціюванні (див. тут) будь-який постійний коефіцієнт у значенні $y$ знову з’явився незмінним у значенні $\dfrac{dy}{dx}$. Відповідно, у зворотному процесі інтегрування він також опиниться у значенні $y$. Отже, ми можемо працювати, як і раніше, наступним чином $$\begin{align*} dy &= ax^{12} · dx,\\ \int dy &= \int ax^{12} · dx,\\ \int dy & = a \int x^{12}\, dx,\\ y &= a × \tfrac{1}{13} x^{13} + C. \end{align*}$$

Отже, це виконано. Як легко!

Ми починаємо усвідомлювати, що інтегрування – це процес знаходження шляху назад, порівняно з диференціюванням. Якщо колись під час диференціювання ми знаходимо якийсь конкретний вираз – у цьому прикладі $ax^{12}$ – ми можемо повернутися назад до $y$, з якого його було отримано. Контраст між цими двома процесами можна проілюструвати наступною реплікою відомого вчителя. Якби незнайомця посадили на Трафальгарській площі та сказали йому знайти дорогу до станції Юстон, він міг би вважати це завдання безнадійним. Але якби його раніше особисто проводили від станції Юстон до Трафальгарської площі, йому було б порівняно легко знайти дорогу назад до станції.

Інтегрування суми або різниці двох функцій.

$$\begin{align*} \mbox{Нехай } \frac{dy}{dx} &= x^2 + x^3, \\ \mbox{тоді } dy &= x^2\, dx + x^3\, dx. \end{align*}$$

Немає жодних причин, чому ми не можемо інтегрувати кожен з цих виразів окремо, тому що, як можна було побачити тут, ми виявили, що при диференціюванні суми двох окремих функцій, загальна похідна була просто сумою двох окремих похідних. Тож, коли ми працюємо у зворотному напрямку, інтегруючи, інтеграл буде просто сумою двох окремих інтегралів.

Тоді наші інструкції будуть наступними: $$\begin{align*} \int dy &= \int (x^2 + x^3)\, dx \\ &= \int x^2\, dx + \int x^3\, dx \\ y &= \tfrac{1}{3} x^3 + \tfrac{1}{4} x^4 + C. \end{align*}$$

Якби будь-який із доданків був від’ємною величиною, відповідний доданок в інтегралі також був би від’ємним. Так що з різницями впоратись так само легко, як із сумами.

Як працювати з постійними членами.

Припустімо, що у виразі, який потрібно проінтегрувати, є постійний член, наприклад: $$\frac{dy}{dx} = x^n + b.$$

Це до смішного просто. Вам потрібно лише згадати, що коли ви диференціювали вираз $y = ax$, результатом було $\dfrac{dy}{dx} = a$. Отже, коли ви йдете зворотним шляхом та інтегруєте – знову отримаєте константу, помножену на $x$. Отже, ми маємо $$\begin{align*} dy &= x^n\, dx + b · dx, \\ \int dy &= \int x^n\, dx + \int b\, dx, \\ y & = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + bx + C. \end{align*}$$

Ось багато прикладів, на яких можна спробувати свої щойно набуті навички.

Приклади

(1) Дано $\dfrac{dy}{dx} = 24x^{11}$. Знайдіть $y$.

Відповідь. $y = 2x^{12} + C$.

(2) Знайдіть $\int (a + b)(x + 1)\, dx$.

Це $(a + b) \int (x + 1)\, dx$ або $(a + b) \left[\int x\, dx + \int dx\right]$ або $(a + b) \left(\dfrac{x^2}{2} + x\right) + C$.

(3) Дано $\dfrac{du}{dt} = gt^{\frac{1}{2}}$. Знайдіть $u$.

Відповідь. $u = \frac{2}{3} gt^{\frac{3}{2}} + C$.

(4) $\dfrac{dy}{dx} = x^3 - x^2 + x$. Знайдіть $y$. $$\begin{align*} dy &= (x^3 - x^2 + x)\, dx\quad\text{або} \\ dy &= x^3\, dx - x^2\, dx + x\, dx; \\ \quad y &= \int x^3\, dx - \int x^2\, dx + \int x\, dx; \end{align*}$$ і $$\begin{align*} y &= \tfrac{1}{4} x^4 - \tfrac{1}{3} x^3 + \tfrac{1}{2} x^2 + C. \end{align*}$$

(5) Проінтегруйте $9.75x^{2.25}\, dx$.

Відповідь. $y = 3x^{3.25} + C$.

Все це досить просто. Спробуймо такий випадок:

$$\begin{align*} \text{нехай } \dfrac{dy}{dx} &= ax^{-1}. \end{align*}$$

Поступаючи, як і раніше, ми запишемо $$dy = ax^{-1} · dx,\quad \int dy = a \int x^{-1}\, dx.$$

Добре, але чим є інтеграл від $x^{-1}\, dx$?

Якщо ви поглянете назад на результати диференціювання $x^2$, $x^3$ та $x^n$ тощо, ви побачите, що ми ніколи не отримували $x^{-1}$ як значення $\dfrac{dy}{dx}$ від жодного з них. Ми отримали $3x^2$ від $x^3$, ми отримали $2x$ від $x^2$ й отримали $1$ від $x^1$ (тобто від самого $x$); але ми не отримали $x^{-1}$ від $x^0$ з двох дуже вагомих причин. По перше, $x^0$ дорівнює просто $1$ і є константою, похідна якої дорівнює нулю. По друге, навіть якби ми спробували диференціювати це рабським дотриманням звичайного правила, похідна дорівнювала б $0 × x^{-1}$, і це множення на нуль все одно дає їй нульове значення! Отже, ми бачимо, що $x^{-1}\, dx$ ніде не виходить зі степенів $x$, які інтегруються за правилом $$\int x^ n\, dx = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1}.$$ Це винятковий випадок.

Добре, але спробуємо ще раз. Перегляньте всі різноманітні диференціали, отримані від різних функцій $x$, і спробуйте знайти серед них $x^{-1}$. Достатній пошук покаже, що ми дійсно отримали $\dfrac{dy}{dx} = x^{-1}$ у результаті диференціювання функції $y = \log_\epsilon x$ (див. тут).

Тоді, звісно, оскільки ми знаємо, що диференціювання $\log_\epsilon x$ дає нам $x^{-1}$, звернувши процес, тобто інтегруючи $dy = x^{-1}\, dx$, ми отримаємо $y = \log_\epsilon x$. Але ми повинні не забувати про постійний множник $a$, який було задано, а також ми не повинні опускати додавання невизначеної константи інтегрування. Тоді як розв’язання поточної проблеми маємо $$y = a \log_\epsilon x + C.$$

Примітка – Зверніть увагу на цей дуже примітний факт, що ми не могли б інтегрувати у наведеному вище випадку, якби випадково не знали відповідну похідну. Якби ніхто не дізнався, що диференціювання $\log_\epsilon x$ дає $x^{-1}$, ми б повністю застрягли в проблемі, як інтегрувати $x^{-1}\, dx$. Дійсно, слід відверто визнати, що це одна з цікавих особливостей інтегрального числення: ви не можете нічого інтегрувати, поки зворотний процес диференціювання чогось іншого не дасть того виразу, який ви хочете інтегрувати. Ніхто навіть сьогодні не може знайти загальний інтеграл виразу $$\frac{dy}{dx} = a^{-x^2},$$ бо $a^{-x^2 }$ ще ніколи не було знайдено в результаті диференціювання чогось.

Ще один простий випадок.

Знайдіть $\int (x + 1)(x + 2)\, dx$.

Дивлячись на функцію, яку потрібно інтегрувати, ви зауважуєте, що вона є добутком двох різних функцій від $x$. Як ви думаєте, ви могли б інтегрувати $(x + 1)\, dx$ окремо або $(x + 2)\, dx$ окремо. Звичайно, ви могли б. Але що робити з добутком? Жодне з диференціювань, які ви вивчали, не дало вам такого добутку для похідної. Якщо ж так, найпростішим є помножити дві функції, а потім інтегрувати. Це дає нам $$\int (x^2 + 3x + 2)\, dx.$$ І це те саме, що $$\int x^2\, dx + \int 3x\, dx + \int 2\, dx.$$ І виконуючи інтегрування, ми отримаємо $$\tfrac{1}{3} x^3 + \tfrac{3}{2} x^2 + 2x + C.$$

Деякі інші інтеграли

Тепер, коли ми знаємо, що інтегрування є протилежністю диференціювання, ми можемо відразу знайти похідні, які ми вже знаємо, і побачити, з яких функцій вони були отримані. Це дає нам наступні готові інтеграли: $$\begin{alignat*}{4} &x^{-1} &&\qquad && \int x^{-1}\, dx &&= \log_\epsilon x + C. \\ %\label{intex2} &\frac{1}{x+a} && && \int \frac{1}{x+a}\, dx &&= \log_\epsilon (x+a) + C. \\ &\epsilon^x && && \int \epsilon^x\, dx &&= \epsilon ^x + C. \\ &\epsilon^{-x} &&&& \int \epsilon^{-x}\, dx &&= -\epsilon^{-x} + C \\ \end{alignat*}$$ (якщо $y = - \dfrac{1}{\epsilon^x}$, $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{\epsilon^x × 0 - 1 × \epsilon^x}{\epsilon^{2x}} = \epsilon^{-x}$). $$\begin{alignat*}{4} &\sin x && && \int \sin x\, dx &&= -\cos x + C. \\ &\cos x && && \int \cos x\, dx &&= \sin x + C. \\ \end{alignat*}$$ Також ми можемо вивести наступне: $$\begin{alignat*}{4} &\log_\epsilon x; &&&& \int\log_\epsilon x\, dx &&= x(\log_\epsilon x - 1) + C \\ \end{alignat*}$$ (якщо $y = x \log_\epsilon x - x$, $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{x} + \log_\epsilon x - 1 = \log_\epsilon x$). $$\begin{alignat*}{4} &\log_{10} x; &&&& \int\log_{10} x\, dx &&= 0.4343x (\log_\epsilon x - 1) + C. \\ &a^x; && && \int a^x\, dx &&= \dfrac{a^x}{\log_\epsilon a} + C. \\ % \label{cosax} &\cos ax; &&&& \int\cos ax\, dx &&= \frac{1}{a} \sin ax + C \\ \end{alignat*}$$ (якщо $y = \sin ax$, $\dfrac{dy}{dx} = a \cos ax$; отже, щоб отримати $\cos ax$, треба диференціювати $y = \dfrac{1}{a} \sin ax$). $$\begin{alignat*}{4} &\sin ax; &&&& \int\sin ax\, dx &&= -\frac{1}{a} \cos ax + C. \\ \end{alignat*}$$

(Дивись також тут)

Дивіться також Таблицю стандартних форм. Вам треба зробити таку таблицю для себе, помістивши в неї лише загальні функції, які ви вдало диференціювали та інтегрували. Слідкуйте за тим, щоб вона постійно росла!

Про подвійні та потрійні інтеграли.

У багатьох випадках необхідно проінтегрувати деякий вираз для двох або більше змінних, що містяться в ньому; і в цьому випадку знак інтегрування з'являється більше одного разу. Таким чином, $$\iint f(x,y)\, dx\, dy$$ означає, що певна функція від змінних $x$ та $y$ має бути проінтегрована для кожної з них. Не має значення, в якому порядку це виконується. Отже, візьмемо функцію $x^2 + y^2$. Інтегрування її відносно $x$ дає нам: $$\int (x^2+y^2)\, dx = \tfrac{1}{3} x^3 + xy^2.$$

Тепер проінтегруємо це відносно $y$: $$\int (\tfrac{1}{3} x^3 + xy^2)\, dy = \tfrac{1}{3} x^3y + \tfrac {1}{3} xy^3,$$ до чого, звісно, треба додати константу. Якби ми змінили порядок операцій на зворотний, результат був би той самий.

Маючи справу з площами поверхонь і твердих тіл, нам часто доводиться інтегрувати як за довжиною, так і за шириною, і, отже, мати інтеграли вигляду $$\iint u · dx\, dy,$$ де $u$ — деяка властивість, яка залежить у кожній точці від $x$ і від $y$. Тоді це буде називатися поверхневим інтегралом. Він вказує на те, що значення всіх таких часток, як $u · dx · dy$ (тобто значення $u$ у маленькому прямокутнику $dx$ завдовжки та $dy$ завширшки) має бути підсумовано по всій довжині та всій ширині.

Аналогічно у випадку твердих тіл, де ми маємо справу з трьома вимірами. Розглянемо будь-яку частку об’єму, маленький кубик розміром $dx$ $dy$ $dz$. Якщо форму тіла виразити функцією $f(x, y, z)$, то все тіло матиме об'єм, рівний об'ємному інтегралу $$\text{volume} = \iiint f(x,y,z) · dx · dy · dz.$$ Природно, що такі інтегрування повинні здійснюватися у відповідних межах (див. тут для інтегрування між інтервалами) у кожному вимірі. І інтегрування неможливо виконати, якщо не знати, яким чином межі поверхні залежать від $x$, $y$ і $z$. Якщо інтервал для $x$ лежить між $x_1$ та $x_2$, для $y$ між $y_1$ та $y_2$, а для $z$ між $z_1$ та $z_2$, то очевидно, що ми маємо $$\text{volume} = \int_{z1}^{z2} \int_{y1}^{y2} \int_{x1}^{x2} f(x,y,z) · dx · dy · dz.$$

Є, звичайно, багато складних випадків, але, загалом, досить легко зрозуміти значення символів, коли вони призначені для вказівки на те, що певне інтегрування повинно бути виконане над заданою поверхнею або по всьому заданому твердому простору.

Вправи XVII

(2) Знайдіть $\int \frac{3}{x^4}\, dx$.

(3) Знайдіть $\int \frac{1}{a} x^3\, dx$.

(4) Знайдіть $\int (x^2 + a)\, dx$.

(5) Проінтегруйте $5x^{-\frac{7}{2}}$.

(6) Знайдіть $\int (4x^3 + 3x^2 + 2x + 1)\, dx$.

(7) Якщо $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{ax}{2} + \dfrac{bx^2}{3} + \dfrac{cx^3}{4}$, знайдіть $y$.

(8) Знайдіть $\int \left(\frac{x^2 + a}{x + a}\right) dx$.

(9) Знайдіть $\int (x + 3)^3\, dx$.

(10) Знайдіть $\int (x + 2)(x - a)\, dx$.

(11) Знайдіть $\int (\sqrt x + \sqrt[3] x) 3a^2\, dx$.

(12) Знайдіть $\int (\sin \theta - \tfrac{1}{2})\, \frac{d\theta}{3}$.

(13) Знайдіть $\int \cos^2 a \theta\, d\theta$.

(14) Знайдіть $\int \sin^2 \theta\, d\theta$.

(15) Знайдіть $\int \sin^2 a \theta\, d\theta$.

(16) Знайдіть $\int \epsilon^{3x}\, dx$.

(17) Знайдіть $\int \dfrac{dx}{1 + x}$.

(18) Знайдіть $\int \dfrac{dx}{1 - x}$.

Відповіді

(1) $\dfrac{4\sqrt{a} x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$.

(2) $-\dfrac{1}{x^3} + C$.

(3) $\dfrac{x^4}{4a} + C$.

(4) $\tfrac{1}{3} x^3 + ax + C$.

(5) $-2x^{-\frac{5}{2}} + C$.

(6) $x^4 + x^3 + x^2 + x + C$.

(7) $\dfrac{ax^2}{4} + \dfrac{bx^3}{9} + \dfrac{cx^4}{16} + C$.

(8) $\dfrac{x^2 + a}{x + a} = x - a + \dfrac{a^2 + a}{x + a}$ шляхом ділення. Тому відповідь: $\dfrac{x^2}{2} - ax + (a^2 + a)\log_\epsilon (x + a) + C$. (Дивіться тут і тут.)

(9) $\dfrac{x^4}{4} + 3x^3 + \dfrac{27}{2} x^2 + 27x + C$.

(10) $\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{2 - a}{2} x^2 - 2ax + C$.

(11) $a^2(2x^{\frac{3}{2}} + \tfrac{9}{4} x^{\frac{4}{3}}) + C$.

(12) $-\tfrac{1}{3} \cos\theta - \tfrac{1}{6} \theta + C$.

(13) $\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\sin 2a\theta}{4a} + C$.

(14) $\dfrac{\theta}{2} - \dfrac{\sin 2\theta}{4} + C$.

(15) $\dfrac{\theta}{2} - \dfrac{\sin 2a\theta}{4a} + C$.

(16) $\tfrac{1}{3} \epsilon^{3x}$. % [F1: +C?]

(17) $\log(1 + x) + C$.

(18) $-\log_\epsilon (1 - x) + C$.