У наших рівняннях ми розглядаємо $x$ як такий, що зростає, і в результаті того, що $x$ зростає, $y$ також змінює своє значення та зростає. Зазвичай ми думаємо про $x$ як про величину, яку ми можемо змінювати; і розглядаючи зміну $x$ як свого роду причину, ми розглядаємо зміну $y$ як результат. Іншими словами, ми вважаємо значення $y$ залежним від значення $x$. І $x$, і $y$ є змінними, але $x$ — це те, чим ми оперуємо, а $y$ — це «залежна змінна». У всьому попередньому розділі ми намагалися знайти правила для пропорції варіації в залежній $y$ до варіації в незалежній $x$.
Наш наступний крок - з'ясувати, який вплив на процес диференціювання має наявність констант, тобто чисел, які не змінюються, коли $x$ або $y$ змінюють свої значення.
Додавання константи.
Почнемо з простого випадку доданої константи, таким чином: $$нехай \begin{align*} y=x^3+5. \end{align*}$$ Як і раніше, припустімо, що $x$ зростає до $x+dx$, а $y$ зростає до $y+dy$. $$\begin{align*} \text{Тоді:}\; y + dy &= (x + dx)^3 + 5 \\ &= x^3 + 3x^2\, dx \\+ 3x(dx)^2 + (dx)^3 + 5. \end{align*}$$ Якщо знехтувати малими величинами вищих порядків, це стане $$\begin{align*} y + dy &= x^3 + 3x^2·dx + 5. \\ \end{align*}$$ Віднімаємо початкове $y = x^3 + 5$ і залишаємо: $$\begin{align*} dy &= 3x^2\, dx. \\ \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align*}$$
Тож число $5$ повністю зникло. Воно нічого не додало до зростання $x$ і не входить у похідну. Якби ми поставили $7$, або $700$, або будь-яке інше число замість $5$, воно б теж зникло. Отже, якщо ми візьмемо літеру $a$, або $b$, або $c$ для представлення будь-якої константи, вона просто зникне, коли ми диференціюємо.
Якби додаткова константа мала негативне значення, наприклад $-5$ або $-b$, вона б так само зникла.
Помноження на константу.
Як простий експеримент, розглянемо наступний випадок:
Нехай $y = 7x^2$. Тоді, продовжуючи як і раніше, ми отримуємо: $$\begin{align*} y + dy &= 7(x+dx)^2 \\ &= 7\{x^2 + 2x·dx + (dx)^2\} \\ &= 7x^2 + 14x·dx + 7(dx)^2. \\ \end{align*}$$ Далі, віднімаючи початкове $y = 7x^2$ та нехтуючи останнім членом, ми маємо $$\begin{align*} dy &= 14x·dx.\\ \frac{dy}{dx} &= 14x. \end{align*}$$
Проілюструємо цей приклад, побудувавши графіки рівнянь $y = 7x^2$ та $\dfrac{dy}{dx} = 14x$, присвоївши $x$ набір послідовних значень $0$, $1 $, $2$, $3$ тощо, а також знайдемо відповідні значення $y$ та $\dfrac{dy}{dx}$.
Ці значення ми зводимо в таблицю наступним чином:
| $x$ | $0 $ | $1 $ | $2 $ | $3 $ | $4 $ | $5 $ | $-1 $ | $ -2 $ | $ -3 $ |
| $y$ | $0 $ | $7 $ | $28 $ | $63 $ | $112 $ | $175 $ | $7 $ | $ 28$ | $ 63 $ |
| $\dfrac{dy}{dx}$ | $0 $ | $14 $ | $28 $ | $42 $ | $56 $ | $70 $ | $-14$ | $ -28$ | $ -42 $ |
Тепер накреслимо ці значення в якомусь зручному масштабі, і отримаємо дві криві - рис. 6 і рис. 6а.
Уважно порівняйте дві криві та переконайтеся, що висота ординати похідної кривої на Рис. 6а пропорційна нахилу початкової кривої (див. тут щодо нахилу кривих) на Рис. 6 при тому самому значенні $x$. Ліворуч від початку координат, де початкова крива має негативний нахил (тобто вниз зліва направо), відповідні ординати похідної кривої є негативними.
Тепер, якщо ми поглянемо назад сюди, ми побачимо, що просте диференціювання $x^2$ дає нам $2x$. Отже, похідна від $7x^2$ просто в $7$ разів більше, ніж від $x^2$. Якби ми взяли $8x^2$, похідна вийшла б у вісім разів більшою, ніж від $x^2$. Якщо взяти $y = ax^2$, ми отримаємо \[ \frac{dy}{dx} = a × 2x. \]
Якби ми почали з $y = ax^n$, ми мали б отримати $\dfrac{dy}{dx} = a×nx^{n-1}$. Таким чином, будь-яке просте множення на константу залишається простим множенням, коли вираз диференціюється. І те, що вірно для множення, однаково вірно для ділення: якби у наведеному вище прикладі ми взяли константу $\frac{1}{7}$ замість $7$, ми мали б отримати те саме $\frac{1}{7}$ у результаті після диференціювання.
Деякі Додаткові Приклади. Наступні розгорнуті приклади дозволять вам повністю опанувати процес диференціювання у застосуванні до звичайних алгебраїчних виразів і дозволять вам самостійно розв'язати приклади, наведені в кінці цього розділу.
(1) Продиференціюйте $y = \dfrac{x^5}{7} - \dfrac{3}{5}$.
$\dfrac{3}{5}$ є доданою константою та зникає (див. тут).
Тоді ми можемо одразу записати \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{7} × 5 × x^{5-1}, \\ \text{або}\; \frac{dy}{dx} = \frac{5}{7} x^4. \]
(2) Продиференціюйте $y = a\sqrt{x} - \dfrac{1}{2}\sqrt{a}$.
Терм $\dfrac{1}{2}\sqrt{a}$ зникає, як додана константа; а оскільки $a\sqrt{x}$ ні що інше, як $ax^{\frac{1}{2}}$, ми маємо: \[ \frac{dy}{dx} = a × \frac {1}{2} × x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{a}{2} × x^{-\frac{1}{2}}, \\ \text{ або}\; \frac{dy}{dx} = \frac{a}{2\sqrt{x}}. \]
(3) Якщо $ay + bx = by - ax + (x+y)\sqrt{a^2 - b^2}$, знайдіть похідну $y$ відносно $x$.
Як правило, вираз такого роду потребує трохи більше знань, ніж ми набули досі; однак завжди варто перевірити, чи можна подати вираз у простішій формі.
Спочатку ми повинні спробувати привести його до форми $y = {}$ будь-який вираз, що містить лише $x$.
Вираз можна записати як \[ (a-b)y + (a + b)x = (x+y) \sqrt{a^2 - b^2}. \]
Зводячи у квадрат, отримуємо
\[ (a-b)^2 y^2 + (a + b)^2 x^2 + 2(a+b)(a-b)xy = \]\[=(x^2+y^2+2xy)(a^2-b^2), \]
\[ (a-b)^2 y^2 + (a + b)^2 x^2 + 2(a+b)(a-b)xy = (x^2+y^2+2xy)(a^2-b^2), \]
що спрощується до
\[ (a-b)^2y^2 + (a+b)^2 x^2 = \]\[x^2(a^2 - b^2) + y^2(a^2 - b^2);\] \[ або [(a-b)^2 - (a^2 - b^2)]y^2 =\] \[[(a^2 - b^2) - (a+b)^2]x^2,\] \[\text{ що є}\; 2b(b-a)y^2 =\]\[ -2b(b+a)x^2; \] отже \[ y = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} x \quad\text{і}\quad \frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}}. \]
\begin{align*} (a-b)^2y^2 + (a+b)^2 x^2 &= x^2(a^2 - b^2) + y^2(a^2 - b^2); \\ або [(a-b)^2 - (a^2 - b^2)]y^2 &= [(a^2 - b^2) - (a+b)^2]x^2, \\ \text{ що є}\; 2b(b-a)y^2 &= -2b(b+a)x^2; \end{align*} отже \[ y = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} x \quad\text{і}\quad \frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}}. \]
(4) Об’єм циліндра з радіусом $r$ і висотою $h$ визначається формулою $V = \pi r^2 h$. Знайдіть швидкість варіювання об’єму залежно від радіуса, коли $r = 5.5$ дюйма та $h=20$ дюймів. Якщо $r = h$, знайдіть такі розміри циліндра, щоб зміна $1$ дюйм у радіусі викликала зміну у $400$ куб. дюймів в об'ємі.
Швидкість зміни $V$ відносно $r$ дорівнює \[ \frac{dV}{dr} = 2 \pi r h. \]
Якщо $r = 5.5$ дюйми та $h=20$ дюймів. це становить $690.8 $. Це означає, що зміна радіуса на $1$ дюйм призведе до зміни об'єму на $690.8$ куб. дюймів. Це легко перевірити, оскільки обсяги з $r = 5$ і $r = 6$ складають $1570$ куб. дюймів і $2260.8$ куб. дюймів відповідно, і $2260.8 - 1570 = 690.8$.
Крім того, якщо \[ r=h,\quad \dfrac{dV}{dr} = 2\pi r^2 = 400\quad \\ \text{та}\quad r = h = \sqrt{\dfrac{400}{2\pi}} = 7.98 \text{ дюймів}. \]
(5) Показання $\theta$ пірометра Фері пов’язане з температурою $t$ за Цельсієм спостережуваного тіла співвідношенням \[ \dfrac{\theta}{\theta_1} = \left(\dfrac{t }{t_1}\right)^4, \] де $\theta_1$ — це показання, що відповідає відомій температурі $t_1$ спостережуваного тіла.
Порівняйте чутливість пірометра при температурах $800°$C., $1000°$C., $1200°$C., враховуючи, що він показав $25$, коли температура була $1000°$C.
Чутливість – це швидкість зміни показників зі зміною температури, тобто $\dfrac{d\theta}{dt}$. Формулу можна записати як \[ \theta = \dfrac{\theta_1}{t_1^4} t^4 = \dfrac{25t^4}{1000^4}, \] і ми маємо \[ \dfrac{d\theta}{dt} = \dfrac{100t^3}{1000^4} = \dfrac{t^3}{10 000 000 000}. \]
Коли $t=800$, $1000$ і $1200$, ми отримуємо $\dfrac{d\theta}{dt} = 0.0512$, $0.1$ і $0.1728$ відповідно.
Чутливість приблизно подвоюється від $800°$ до $1000°$, і стає на три чверті більшою при $1200°$.
Продиференціюйте наступне:
(1) $y = ax^3 + 6$. (2) $y = 13x^{\frac{3}{2}} - c$.
(3) $y = 12x^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}}$. (4) $y = c^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$.
(5) $u = \dfrac{az^n - 1}{c}$.
(6) $y = 1.18t^2 + 22.4$.
Придумайте інші приклади та спробуйте продиференціювати їх.
(7) Якщо $l_t$ і $l_0$ — довжини залізного стрижня при температурах $t°$ C. і $0°$ C. відповідно, тоді $l_t = l_0(1 + 0.000012t)$. Знайдіть зміну довжини стрижня при зміні температури на один градус Цельсія.
(8) Було встановлено, що якщо $c$ — потужність електричної лампи розжарювання, а $V$ — напруга, то $c = aV^b$, де $a$ і $b$ — константи.
Знайдіть швидкість зміни потужності лампи залежно від напруги та обчисліть зміну потужності на вольт при $80$, $100$ і $120$ вольтів у випадку лампи, для якої $a = 0.5×10^{-10 }$ і $b=6$.
(9) Частота $n$ коливань струни діаметром $D$, довжиною $L$ і питомою вагою $\sigma$, розтягнутою із силою $T$, визначається як \[ n = \dfrac{1 }{DL} \sqrt{\dfrac{gT}{\pi\sigma}}. \]
Знайдіть швидкість зміни частоти, коли $D$, $L$, $\sigma$ і $T$ змінюються окремо.
(10) Найбільший зовнішній тиск $P$, який може витримати труба без руйнування, визначається як \[ P = \left(\dfrac{2E}{1-\sigma^2}\right) \dfrac{t^3} {D^3}, \] де $E$ і $\sigma$ — константи, $t$ — товщина труби, а $D$ — її діаметр. (Ця формула припускає, що $4t$ мале у порівнянні з $D$.)
Порівняйте швидкість, з якою змінюється $P$ для невеликої зміни товщини та для невеликої зміни діаметра, що відбуваються окремо.
(11) Знайти, виходячи з перших принципів, швидкість, з якою наступні величини змінюються відносно зміни радіуса:
(a) - довжина кола радіуса $r$;
(b) - площа кола радіуса $r$;
(c) - бічна площа конуса з твірною $l$;
(d) - об'єм конуса радіуса $r$ і висоти $h$;
(e) - площа сфери радіуса $r$;
(f) - об'єм сфери радіуса $r$.
(12) Довжина $L$ залізного стрижня при температурі $T$ визначається як $L = l_t\bigl[1 + 0.000012(Tt)\bigr]$, де $l_t$ — довжина при температурі $ t$, знайти швидкість зміни діаметра $D$ залізної шини, придатної для усадки на колесо, при зміні температури $T$.
(1) $\dfrac{dy}{dx} = 3ax^2$.
(2) $\dfrac{dy}{dx} = 13 × \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$.
(3) $\dfrac{dy}{dx} = 6x^{-\frac{1}{2}}$.
(4) $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2}c^{\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}}$.
(5) $\dfrac{du}{dz} = \dfrac{an}{c} z^{n-1}$.
(6) $\dfrac{dy}{dt} = 2.36t$.
(7) $\dfrac{dl_t}{dt} = 0.000012×l_0$.
(8) $\dfrac{dC}{dV} = abV^{b-1}$, $0.98$, $3.00$ і $7.47$ потужності на вольт відповідно.
(9) \[ \dfrac{dn}{dD} = -\dfrac{1}{LD^2} \sqrt{\dfrac{gT}{\pi \sigma}}, \dfrac{dn}{dL} = -\dfrac{1}{DL^2} \sqrt{\dfrac{gT}{\pi \sigma}}, \\ \dfrac{dn}{d \sigma} = -\dfrac{1}{2DL} \sqrt{\dfrac{gT}{\pi \sigma^3}}, \dfrac{dn}{dT} = \dfrac{1}{2DL} \sqrt{\dfrac{g}{\pi \sigma T}}. \]
(10) \[ \dfrac{\text{Швидкість зміни $P$, коли змінюється $t$}} {\text{Швидкість зміни $P$, коли змінюється $D$}} = - \dfrac{D} {t} \]
(10) \[ \dfrac{\text{Швидкість зміни $P$, коли змінюється $t$}} {\text{Швидкість зміни $P$, коли змінюється $D$}} = - \dfrac{D} {t} \]
(11) $2\pi$, $2\pi r$, $\pi l$, $\frac{2}{3}\pi rh$, $8\pi r$, $4\pi r^2$.
(12) $\dfrac{dD}{dT} = \dfrac{0.000012l_t}{\pi}$.