| $\dfrac{dy}{dx}$ |
$y$ |
$\int y\, dx$ |
|
Алгебраїчні.
|
| $1$ |
$x$ |
$\frac{1}{2} x^2 + C$ |
| $0$ |
$a$ |
$ax + C $ |
| $1$ |
$x ± a$ |
$\frac{1}{2} x^2 ± ax + C$ |
| $a$ |
$ax $ |
$\frac{1}{2} ax^2 + C $ |
| $2x$ |
$x^2$ |
$\frac{1}{3} x^3 + C $ |
| $nx^{n-1}$ |
$x^n$ |
$ \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + C $ |
| $-x^{-2} $ |
$x^{-1}$ |
$\log_\epsilon x + C$ |
| $\dfrac{du}{dx} ± \dfrac{dv}{dx} ± \dfrac{dw}{dx}$ |
$u ± v ± w$ |
$\int u\, dx ± \int v\, dx ± \int w\, dx$ |
| $u\, \dfrac{dv}{dx} + v\, \dfrac{du}{dx}$ |
$uv$ |
Загальна форма невідома |
| $\dfrac{v\, \dfrac{du}{dx} - u\, \dfrac{dv}{dx}}{v^2}$ |
$\dfrac{u}{v}$ |
Загальна форма невідома |
| $\dfrac{du}{dx}$ |
$u$ |
$ux - \int x\, du + C$ |
|
Експоненціальні та логарифмічні.
|
| $\epsilon^x$ |
$\epsilon^x$ |
$\epsilon^x + C$
|
| $x^{-1}$ |
$\log_\epsilon x$ |
$ x(\log_\epsilon x - 1) + C$
|
| $0.4343 × x^{-1}$ |
$\log_{10} x$ |
$0.4343x (\log_\epsilon x - 1) + C$ |
| $a^x \log_\epsilon a$ |
$a^x$ |
$\dfrac{a^x}{\log_\epsilon a} + C$ |
|
Тригонометричні.
|
| $\cos x$ |
$\sin x$ |
$-\cos x + C $ |
| $-\sin x$ |
$\cos x$ |
$\sin x + C $ |
| $\sec^2 x$ |
$\tan x$ |
$-\log_\epsilon \cos x + C $ |
|
Зворотні тригонометричні.
|
| $\dfrac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}$ |
$\arcsin x$ |
$x · \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$ |
| $-\dfrac{1}{\sqrt{(1-x^2)}}$ |
$\arccos x$ |
$x · \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C$ |
| $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
$\arctan x$ |
$x · \arctan x - \frac{1}{2} \log_\epsilon (1 + x^2) + C$ |
|
Гіперболічні.
|
| $\cosh x $ |
$\sinh x$ |
$\cosh x + C$ |
| $\sinh x $ |
$\cosh x$ |
$\sinh x + C$ |
| $\text{sech}^2 x $ |
$\tanh x$ |
$\log_\epsilon \cosh x + C $ |
|
Різні.
|
| $-\dfrac{1}{(x + a)^2}$ |
$\dfrac{1}{x + a}$ |
$ \log_\epsilon (x+a) + C $ |
| $-\dfrac{x}{(a^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}}$ |
$\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}$ |
$\log_\epsilon (x + \sqrt{a^2 + x^2}) + C $ |
| $\mp \dfrac{b}{(a ± bx)^2}$ |
$\dfrac{1}{a ± bx}$ |
$± \dfrac{1}{b} \log_\epsilon (a ± bx) + C $ |
| $-\dfrac{3a^2x}{(a^2 + x^2)^{\frac{5}{2}}}$ |
$\dfrac{a^2}{(a^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}}$ |
$\dfrac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} + C $ |
| $ a · \cos ax$ |
$\sin ax$ |
$-\dfrac{1}{a} \cos ax + C $ |
| $-a · \sin ax$ |
$\cos ax$ |
$ \dfrac{1}{a} \sin ax + C $ |
| $ a · \sec^2ax$ |
$\tan ax$ |
$-\dfrac{1}{a} \log_\epsilon \cos ax + C $ |
| $ \sin 2x$ |
$\sin^2 x$ |
$\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C $ |
| $-\sin 2x$ |
$\cos^2 x$ |
$\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C $ |
| $n · \sin^{n-1} x · \cos x$ |
$ \sin^n x$ |
$-\frac{\cos x}{n} \sin^{n-1} x + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}
x\, dx + C$
|
| $-\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}$ |
$\dfrac{1}{\sin x}$ |
$\log_\epsilon \tan \dfrac{x}{2} + C$ |
| $-\dfrac{\sin 2x}{\sin^4 x}$ |
$\dfrac{1}{\sin^2 x}$ |
$ -\text{cotan} x + C$ |
| $\dfrac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x · \cos^2 x}$ |
$ \dfrac{1}{\sin x · \cos x}$ |
$ \log_\epsilon \tan x + C $ |
| $n · \sin mx · \cos nx + m · \sin nx · \cos mx $ |
$\sin mx · \sin nx$ |
$\frac{1}{2} \cos(m - n)x - \frac{1}{2} \cos(m + n)x + C$ |
| $ 2a·\sin 2ax$ |
$\sin^2 ax$ |
$\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2ax}{4a} + C $ |
| $-2a·\sin 2ax$ |
$\cos^2 ax$ |
$\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2ax}{4a} + C $ |