Ми бачили, що при диференціюванні дробу доводиться виконувати досить складну операцію; і, якщо дріб сам по собі не є простим, результат обов’язково буде складним виразом. Якби ми змогли розбити дріб на два чи більше простіших дробів так, щоб їхня сума була еквівалентною початковому дробу, ми б могли продиференціювати кожен з цих простіших виразів. І результатом диференціювання буде сума двох (або більше) диференціалів, кожен з яких є відносно простим. Тоді остаточний вираз, звичайно, буде еквівалентним тому, що можна було б отримати, не вдаючись до цього хитрування, проте, таким чином, він отримується з набагато меншими зусиллями та представлений у спрощеній формі.
Подивімося, як можна досягти цього результату. Спробуємо спочатку скласти два дроби разом, щоб отримати результуючий дріб. Візьмемо, наприклад, $\dfrac{1}{x+1}$ і $\dfrac{2}{x-1}$. Кожен школяр може скласти їх і отримати суму $\dfrac{3x+1}{x^2-1}$. І таким же чином він може скласти три або більше дробів. Цей процес, звичайно, можна обернути назад: тобто, якби цей останній вираз було надано, то, безумовно, його можна було б якимось чином знову розбити на простіші дроби. Тільки ми не в кожному наданому випадку знаємо, як це робиться. Щоб з'ясувати це, розглянемо спочатку простий випадок. Але важливо пам'ятати, що все, що відбудеться далі, стосується лише тих дробів, що називаються «правильними» алгебраїчними дробами, тобто таких, що, як наведені вище, мають чисельник меншого степеня ніж знаменник; тобто тих, у яких максимальний степінь $x$ у чисельнику менший, ніж у знаменнику. Якщо ми маємо справу з таким виразом, як $\dfrac{x^2+2}{x^2-1}$, ми можемо спростити його шляхом ділення, оскільки він еквівалентний $1+\dfrac{3}{x ^2-1}$; а $\dfrac{3}{x^2-1}$ — це правильний алгебраїчний дріб, до якого можна застосувати операцію розкладання на прості дроби, яка пояснюється далі.
Випадок І. Якщо ми виконуємо додавання двох або більше дробів, знаменник яких містить лише доданки в $x$, і не містить доданків у $x^2$, $x^3$ чи будь-яких інших степенях $x$, ми завжди бачитимемо, що знаменник кінцевого отриманого дробу є добутком знаменників дробів, які були складені для отримання результату. З цього випливає, що, розклавши знаменник цього останнього дробу на множники, ми можемо знайти кожен зі знаменників простіших дробів, що ми й шукаємо.
Припустімо, ми хочемо повернутися від $\dfrac{3x+1}{x^2-1}$ до компонентів, які, як ми знаємо, $\dfrac{1}{x+1}$ і $\dfrac{2}{ x-1}$. Якби ми не знали, що це за компоненти, ми б все одно могли підготувати шлях, записавши: \[ \frac{3x+1}{x^2-1} = \frac{3x+1}{(x+1)(x -1)} = \frac{}{x+1} + \frac{}{x-1}, \] залишаючи пропуски для чисельників, поки ми не дізнаємося, що туди вписати. Ми завжди можемо вважати знак між простими дробами плюсом, оскільки, якщо це буде мінус, ми просто знайдемо відповідний чисельник від’ємним. Тепер, оскільки ці дроби є правильними, чисельники — це просто числа без $x$, і ми можемо називати їх $A$, $B$, $C\dots$ як завгодно. Отже, у цьому випадку ми маємо: \[ \frac{3x+1}{x^2-1} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}. \]
Якщо тепер виконати додавання цих двох дробів, ми отримаємо $\dfrac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}$, і це має дорівнювати $\dfrac{3x+1}{(x+1)(x-1)}$. І оскільки знаменники по обидві сторони цього рівняння однакові, чисельники теж мають бути рівними, що дає нам: \[ 3x + 1 = A(x-1) + B(x + 1). \]
Це рівняння з двома невідомими величинами, і, здавалося б, нам потрібно ще одне рівняння, перш ніж ми зможемо їх розв’язати та знайти $A$ і $B$. Але є інший вихід із цієї складності. Рівняння має бути вірним для всіх значень $x$; отже, це має бути істинним і для таких значень $x$, при яких $x-1$ і $x+1$ дорівнюватимуть нулю, тобто для $x=1$ і для $x=-1$ відповідно. Якщо зробити $x=1$, ми отримаємо $4 = (A × 0)+(B × 2)$, так що $B=2$; і якщо ми зробимо $x=-1$, ми отримаємо $-2 = (A × -2) + (B × 0)$, отже $A=1$. Замінивши $A$ і $B$ дробів на ці нові значення, ми виявимо, що вони стануть $\dfrac{1}{x+1}$ і $\dfrac{2}{x-1}$; і справа зроблена.
Як наступний приклад візьмемо дріб $\dfrac{4x^2 + 2x - 14}{x^3 + 3x^2 - x - 3}$. Знаменник стає нулем, коли $x$ отримує значення $1$; отже $x-1$ є його множником, і, очевидно, тоді іншим множником буде $x^2 + 4x + 3$; і це знову можна розкласти на $(x+1)(x+3)$. Отже, ми можемо записати дріб так: \[ \frac{4x^2 + 2x - 14}{x^3 + 3x^2 - x - 3} = \frac{A}{x+1} + \frac{B }{x-1} + \frac{C}{x+3}, \] утворюючи три дроби.
Діючи, як і раніше, знаходимо
\begin{align*} 4x^2 + 2x - 14 = A(x-1)(x+3) &+ B(x+1)(x+3) + \\ &+ C(x+1)(x-1) \end{align*}
\[ 4x^2 + 2x - 14 = A(x-1)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x-1) \]
Тепер, якщо зробимо $x=1$, ми отримаємо: \[ -8 = (A × 0) + B(2 × 4) + (C × 0);\quad \\ \text{тобто } B = - 1. \]
Якщо $x= -1$, ми отримуємо: \[ -12 = A(-2 × 2) + (B × 0) + (C × 0);\quad \\ \text{звідки } A = 3. \]
Якщо $x = -3$, отримаємо: \[ 16 = (A × 0) + (B × 0) + C(-2 × -4);\quad \\ \text{звідки } C = 2. \]
Отже, прості дроби будуть наступними: \[ \frac{3}{x+1} - \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+3}, \] що набагато легше диференціювати відносно $x$, ніж складний вираз, з якого він отриманий.
Випадок II. Якщо деякі з множників знаменника містять доданки в $x^2$, і їх незручно розкладати, тоді відповідний чисельник може містити доданки в $x$ і просте число; і тому виникає необхідність представити цей невідомий чисельник не символом $A$, а $Ax + B$; решта розрахунків виконується як і раніше. Спробуємо, наприклад: \[ \frac{-x^2 - 3}{(x^2+1)(x+1)}. \\ \frac{-x^2 - 3}{(x^2+1)(x+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{C}{x+1};\\ -x^2 - 3 = (Ax + B)(x+1) + C(x^2+1). \]
Підставивши $x= -1$, ми отримаємо $-4 = C × 2$; і $C = -2$; \begin{align*} \text{отже } \; -x^2 - 3 &= (Ax + B)(x + 1) - 2x^2 - 2; \\ \text{і } \; x^2 - 1 &= Ax(x+1) + B(x+1). \end{align*}
Поклавши $x = 0$, отримаємо $-1 = B$; отже \[ x^2 - 1 = Ax(x + 1) - x - 1;\quad \\ \text{або } x^2 + x = Ax(x+1); \\ \text{та}\; x+1 = A(x+1), \] так що $A=1$, а дроби: \[ \frac{x-1}{x^2+1} - \frac{2}{ x+1}. \]
Візьмемо як інший приклад дріб \[ \frac{x^3-2}{(x^2+1)(x^2+2)}. \]
Отримуємо \begin{align*} \frac{x^3-2}{(x^2+1)(x^2+2)} &= \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+2}\\ &= \frac{(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)}{(x ^2+1)(x^2+2)}. \end{align*}
Отримуємо \begin{align*} \frac{x^3-2}{(x^2+1)(x^2+2)} &= \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+2}\\ &= \frac{(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)}{(x ^2+1)(x^2+2)}. \end{align*}
У цьому випадку визначити $A$, $B$, $C$, $D$ не так просто. Простіше буде діяти наступним чином: оскільки заданий дріб і дріб, знайдений додаванням простих дробів, рівні та мають однакові знаменники, чисельники також повинні бути однакові. У такому випадку і для таких алгебраїчних виразів, як ці, коефіцієнти при однакових степенях $x$ мають бути рівними й одного знаку.
Отже, оскільки \begin{align*} x^3-2 &= (Ax+B)(x^2+2) + (Cx+D)(x^2+1) \\ &= (A+C) x^3 + (B+D)x^2 + (2A+C)x + 2B+D, \end{align*}
Отже, оскільки \begin{align*} x^3-2 &= (Ax+B)(x^2+2) + (Cx+D)(x^2+1) \\ &= (A+C) x^3 + (B+D)x^2 + (2A+C)x + 2B+D, \end{align*}
ми маємо $1=A+C$; $0=B+D$ (коефіцієнт при $x^2$ у лівому виразі дорівнює нулю); $0=2A+C$; та $-2=2B+D$. Маємо чотири рівняння, з яких ми легко отримуємо $A=-1$; $B=-2$; $C=2$; $D=0$; так що прості дроби є наступними: $\dfrac{2(x+1)}{x^2+2} - \dfrac{x+2}{x^2+1}$. Цим методом можна скористатися завжди, але метод, наданий першим, буде найшвидшим у випадку лише факторів у $x$.
Випадок III. Якщо серед множників знаменника є деякі, що зводяться у певний степінь, слід допускати можливе існування простих дробів, які мають у знаменнику кілька степенів цього множника аж до найвищого. Наприклад, розбиваючи дріб $\dfrac{3x^2-2x+1}{(x+1)^2(x-2)}$, ми повинні враховувати можливе існування знаменника $x+1$, а також $(x+1)^2$ і $(x-2)$.
Однак ми можемо вважати, що оскільки чисельник дробу, знаменник якого дорівнює $(x+1)^2$, може містити доданки в $x$, ми повинні врахувати це, записавши $Ax+B$ для його чисельника, так що \[ \frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{Ax+B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{x-2}. \] Проте, якщо ми спробуємо знайти $A$, $B$, $C$ і $D$ у цьому випадку, ми зазнаємо невдачі, тому що ми маємо чотири невідомі й лише три співвідношення, що їх з’єднують, \[ \frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{x-1}{(x+1) )^2} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-2}. \]
Але якщо ми напишемо \[ \frac{3x^2 - 2x + 1}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{A}{(x+1)^2} + \frac{ B}{x+1} + \frac{C}{x-2}, \]
отримаємо \[ 3x^2 - 2x+1 = A(x-2) + B(x+1)(x-2 ) + C(x+1)^2, \]
отримаємо \[ 3x^2 - 2x+1 = A(x-2) + B(x+1)(x-2 ) + C(x+1)^2, \]
>що дає $C=1$ для $x=2$. Замінюючи $C$ на його значення, транспонуючи, збираючи однакові доданки та ділячи на $x-2$, ми отримуємо $-2x= A+B(x+1)$, що дає $A=-2$ для $x= -1$. Замінивши $A$ на його значення, ми отримаємо \[ 2x = -2+B(x+1). \]
Отже, $B=2$; так що прості дроби: \[ \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2}, \] замість $\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{x-1}{(x+1)^2} + \dfrac{1}{x-2}$ вказаних вище, з яких було отримано $\dfrac{3x^2-2x+1}{(x+1)^2(x-2)}$. Таємниця розкриється, якщо ми помітимо, що $\dfrac{x-1}{(x+1)^2}$ сам по собі може бути розділений на дві частини $\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{2 }{(x+1)^2}$, так що наведені три дроби насправді еквівалентні до \[ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} - \frac{2 }{(x+1)^2} + \frac{1}{x-2} = \\ = \frac{2}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2} + \frac {1}{x-2}, \] які є отриманими простими дробами.
Ми бачимо, що тут достатньо врахувати один числовий член у кожному чисельнику, і ми завжди отримаємо остаточні прості дроби.
Однак, якщо в знаменнику є степінь множника $x^2$, відповідні чисельники мають мати вигляд $Ax+B$; наприклад,
\[ \frac{3x-1}{(2x^2-1)^2(x+1)} = \frac{Ax+B}{(2x^2-1)^2} + \frac {Cx+D}{2x^2-1} + \frac{E}{x+1}, \] що дає \[ 3x - 1 = \\ = (Ax + B)(x + 1) + (Cx + D) (x + 1)(2x^2 - 1) + E(2x^2 - 1)^2. \]
\[ \frac{3x-1}{(2x^2-1)^2(x+1)} = \frac{Ax+B}{(2x^2-1)^2} + \frac {Cx+D}{2x^2-1} + \frac{E}{x+1}, \] що дає \[ 3x - 1 = (Ax + B)(x + 1) + (Cx + D) (x + 1)(2x^2 - 1) + E(2x^2 - 1)^2. \]
Для $x = -1$ це дає $E = -4$. Замінюючи, переставляючи, збираючи однакові доданки та ділячи на $x + 1$, ми отримуємо
\[ 16x^3 - 16x^2 + 3 = 2Cx^3 + 2Dx^2 + x(A - C) + (B - D). \]
\[ 16x^3 - 16x^2 + 3 = 2Cx^3 + 2Dx^2 + x(A - C) + (B - D). \]
Отже, $2C = 16$ і $C = 8$; $2D = -16$ і $D = -8$; $A - C = 0$ або $A - 8 = 0$ і $A = 8$, і, нарешті, $B - D = 3$ або $B = -5$. Таким чином, ми отримуємо прості дроби: \[ \frac{(8x - 5)}{(2x^2 - 1)^2} + \frac{8(x - 1)}{2x^2 - 1} - \frac{4}{x + 1}. \]
Корисно перевіряти отримані результати. Найпростіший спосіб — замінити $x$ одним значенням, скажімо, $+1$, як у заданому виразі, так і в отриманих простих дробах.
Якщо знаменник містить лише степінь одного множника, існує наступний дуже швидкий метод:
Взявши, наприклад, $\dfrac{4x + 1}{(x + 1)^3}$, нехай $x + 1 = z$; тоді $x = z - 1$.
Замінюючи, отримуємо \[ \frac{4(z - 1) + 1}{z^3} = \frac{4z - 3}{z^3} = \frac{4}{z^2} - \frac {3}{z^3}. \]
Таким чином, прості дроби дорівнюють \[ \frac{4}{(x + 1)^2} - \frac{3}{(x + 1)^3}. \]
Застосування до диференціювання. Нехай потрібно продиференціювати $y = \dfrac{5-4x}{6x^2 + 7x - 3}$; маємо \begin{align*} \frac{dy}{dx} &= -\frac{(6x^2+7x-3) × 4 + (5 - 4x)(12x + 7)}{(6x^2 + 7x - 3)^2}\\ &= \frac{24x^2 - 60x - 23}{(6x^2 + 7x - 3)^2}. \end{align*}
Однак, якщо ми розбиваємо даний вираз на \[ \frac{1}{3x-1} - \frac{2}{2x+3}, \] отримуємо \[ \frac{dy}{dx} = - \frac{3}{(3x-1)^2} + \frac{4}{(2x+3)^2}, \] що фактично є тим самим результатом, що й вище, розкладеним на прості дроби. Але розкладання, якщо виконувати його після диференціювання, є складнішим, і це легко побачити. Коли ми зіштовхнемося з інтегруванням таких виразів, ми побачимо, що розкладання на прості дроби є дорогоцінним допоміжним інструментом (див. тут).
Розбити на прості дроби:
(1) $\dfrac{3x + 5}{(x - 3)(x + 4)}$.
(2) $\dfrac{3x - 4}{(x - 1)(x - 2)}$.
(3) $\dfrac{3x + 5}{x^2 + x - 12}$.
(4) $\dfrac{x + 1}{x^2 - 7x + 12}$.
(5) $\dfrac{x - 8}{(2x + 3)(3x - 2)}$.
(6) $\dfrac{x^2 - 13x + 26}{(x - 2)(x - 3)(x - 4)}$.
(7) $\dfrac{x^2 - 3x + 1}{(x - 1)(x + 2)(x - 3)}$.
(8) $\dfrac{5x^2 + 7x + 1}{(2x + 1)(3x - 2)(3x + 1)}$.
(9) $\dfrac{x^2}{x^3 - 1}$.
(10) $\dfrac{x^4 + 1}{x^3 + 1}$.
(11) $\dfrac{5x^2 + 6x + 4}{(x +1)(x^2 + x + 1)}$.
(12) $\dfrac{x}{(x - 1)(x - 2)^2}$.
(13) $\dfrac{x}{(x^2 - 1)(x + 1)}$.
(14) $\dfrac{x + 3}{ (x +2)^2(x - 1)}$.
(15) $\dfrac{3x^2 + 2x + 1}{(x + 2)(x^2 + x + 1)^2}$.
(16) $\dfrac{5x^2 + 8x - 12}{(x + 4)^3}$.
(17) $\dfrac{7x^2 + 9x - 1}{(3x - 2)^4}$.
(18) $\dfrac{x^2}{(x^3 - 8)(x - 2)}$.
(1) $\dfrac{2}{ x - 3} + \dfrac{1}{ x + 4}$.
(2) $\dfrac{1}{ x - 1} + \dfrac{2}{ x - 2}$.
(3) $\dfrac{2}{ x - 3} + \dfrac{1}{ x + 4}$.
(4) $\dfrac{5}{ x - 4} - \dfrac{4}{ x - 3}$.
(5) $\dfrac{19}{13(2x + 3)} - \dfrac{22}{13(3x - 2)}$.
(6) $\dfrac{2}{ x - 2} + \dfrac{4}{ x - 3} - \dfrac{5}{ x - 4}$.
(7) $\dfrac{1}{6(x - 1)} + \dfrac{11}{15(x + 2)} + \dfrac{1}{10(x - 3)}$.
(8) $\dfrac{7}{9(3x + 1)} + \dfrac{71}{63(3x - 2)} - \dfrac{5}{7(2x + 1)}$.
(9) $\dfrac{1}{3(x - 1)} + \dfrac{2x + 1}{3(x^2 + x + 1)}$.
(10) $x + \dfrac{2}{3(x + 1)} + \dfrac{1 - 2x}{3(x^2 - x + 1)}$.
(11) $\dfrac{3}{(x + 1)} + \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$.
(12) $\dfrac{1}{ x - 1} - \dfrac{1}{ x - 2} + \dfrac{2}{(x - 2)^2}$.
(13) $\dfrac{1}{4(x - 1)} - \dfrac{1}{4(x + 1)} + \dfrac{1}{2(x + 1)^2}$.
(14) $\dfrac{4}{9(x - 1)} - \dfrac{4}{9(x + 2)} - \dfrac{1}{3(x + 2)^2}$.
(15) $\dfrac{1}{ x + 2} - \dfrac{x - 1}{ x^2 + x + 1} - \dfrac{1}{(x^2 + x + 1)^2}$.
(16) $\dfrac{5}{ x + 4} -\dfrac{32}{(x + 4)^2} + \dfrac{36}{(x + 4)^3}$.
(17) $\dfrac{7}{9(3x - 2)^2} + \dfrac{55}{9(3x - 2)^3} + \dfrac{73}{9(3x - 2)^4}$.
(18) $\dfrac{1}{6(x - 2)} + \dfrac{1}{3(x - 2)^2} - \dfrac{x}{6(x^2 + 2x + 4)}$.
Розглянемо функцію (див. тут) $y = 3x$; її можна виразити у формі $x = \dfrac{y}{3}$; ця остання форма називається оберненою функцією до тієї, що була дана спочатку.
Якщо $y = 3x$, $\dfrac{dy}{dx} = 3$; якщо $x=\dfrac{y}{3}$, $\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{3}$, і ми бачимо, що \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ }\quad \text{або }\quad \frac{dy}{dx} × \frac{dx}{dy} = 1. \]
Розглянемо $y= 4x^2$, $\dfrac{dy}{dx} = 8x$; обернена функція \[ x = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2},\quad \text{і}\quad \frac{dx}{dy} = \frac{1}{4\sqrt{y}} = \frac{1}{4 × 2x} = \frac{1}{8x}. \] \begin{align*} \text{Знову тут}\; \frac{dy}{dx}×\frac{dx}{dy} &= 1. \end{align*}
Можна показати, що для всіх функцій, які можливо привести до оберненої форми, завжди можна записати \[ \frac{dy}{dx} × \frac{dx}{dy} = 1\quad \text{або}\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ }. \]
Звідси випливає, що якщо обернену до заданої функцію продиференціювати легше, це можна зробити, і зворотна величина похідної оберненої функції дає похідну самої заданої функції.
Як приклад, припустімо, що ми хочемо продиференціювати $y=\sqrt[2]{\dfrac{3}{x}-1}$. Ми вже бачили один спосіб зробити це, написавши $u=\dfrac{3}{x}-1$ і знайшовши $\dfrac{dy}{du}$ і $\dfrac{du}{dx}$. Це дає \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2x^2\sqrt{\dfrac{3}{x} -1}}. \]
Якщо ми забули, як діяти цим методом, або бажаємо перевірити наш результат якимось іншим чином, або з будь-якої іншої причини ми не могли використати звичайний метод, ми можемо зробити наступне: обернена функція є $x=\dfrac{3}{1+y^2}$. \[ \frac{dx}{dy} = -\frac{3 × 2y}{(1+y^2)^2} = -\frac{6y}{(1+y^2)^2}; \] отже
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ } = -\frac{(1+y^2)^2}{6y} = -\frac{\left(1+\dfrac{3}{x} -1\right)^2}{6×\sqrt[2]{\dfrac{3}{x}-1}} = -\frac {3}{2x^2\sqrt{\dfrac{3}{x}-1}}. \]
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ \dfrac{dx}{dy}\ } = -\frac{(1+y^2)^2}{6y} = -\frac{\left(1+\dfrac{3}{x} -1\right)^2}{6×\sqrt[2]{\dfrac{3}{x}-1}} = -\frac {3}{2x^2\sqrt{\dfrac{3}{x}-1}}. \]
Візьмемо як інший приклад $y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{\theta +5}}$.
Обернена функція $\theta=\dfrac{1}{y^3}-5$ або $\theta=y^{-3}-5$, і \[ \frac{d\theta}{dy} = -3y^{-4} = -3\sqrt[3]{(\theta + 5)^4}. \]
З цього випливає, що $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{3\sqrt{(\theta +5)^4}}$, що можна було б знайти інакше.
Пізніше ми побачимо, що цей трюк є дуже корисним. Тим часом раджу вам ознайомитися з ним, перевіривши за його допомогою результати, отримані у вправах I. (тут), номери 5, 6, 7; Приклади (тут), номери 1, 2, 4; і вправи VI. (тут), номери 1, 2, 3 і 4.
З цього та попередніх розділів ви могли побачити, що багато у чому
диференціювання є мистецтвом, а не просто наукою:
мистецтвом, яке можна опанувати, як і всі інші види мистецтва, лише практикою.
Тому вам слід опрацювати багато прикладів і навести собі інші приклади, щоб
побачити, чи зможете ви їх опрацювати, доки різні хитрощі не стануть звичними
під час використання.