Найпростіші випадки

Тепер давайте подивимось, як, виходячи з цих принципів, ми можемо диференціювати деякий простий алгебраїчний вираз.

Випадок 1

Почнемо з виразу $y=x^2$. Згадаємо, що фундаментальним поняттям математичного аналізу є ідея зростання. Математики називають це варіюванням. Оскільки $y$ та $x^2$ дорівнюють один одному, зрозуміло, що якщо $x$ зростатиме, $x^2$ також зростатиме. І якщо $x^2$ зростає, то $y$ також зростатиме. Ми маємо з'ясувати пропорцію між зростанням $y$ і зростанням $x$. Іншими словами, наше завдання — знайти співвідношення між $dy$ та $dx$, або, коротко кажучи, знайти значення $\dfrac{dy}{dx}$.

Таким чином, нехай $x$ трохи збільшиться і стане $x + dx$; тоді $y$ так само трохи збільшиться і стане $y + dy$. Зрозуміло, що збільшений $y$ дорівнюватиме квадрату збільшеного $x$. Записуючи це, ми маємо:

Зводячи це у квадрат, ми отримуємо:

Що означає $(dx)^2$? Згадайте, що $dx$ означає малу частинку від $x$. Тоді $(dx)^2$ означатиме малу частинку від малої частини $x$; тобто, як було пояснено раніше (тут), це мала величина другого порядку малості. Тому її можна відкинути як зовсім незначущу у порівнянні з іншими змінними. Зробивши це, ми маємо:

Оскільки $y=x^2$, віднімемо це від рівняння, і отримаємо

Розділивши обидві частини рівняння на $dx$, ми знайдемо

Це* і є те, що ми хотіли знайти. Відношення зростання $y$ до зростання $x$ у нашому випадку дорівнює $2x$.

*Примітка – це співвідношення $\dfrac{dy}{dx}$ є результатом диференціювання $y$ відносно $x$. Диференціювання означає знаходження диференціального коефіцієнта (похідної). Припустімо, що у нас є якась інша функція від $x$, наприклад, $u = 7x^2 + 3$. Тоді, якби нам сказали диференціювати це відносно $x$, ми мали б знайти $\dfrac{du}{dx}$, або, що те саме, $\dfrac{d(7x^2 + 3 )}{dx}$. Або, ми можемо мати випадок, коли час є незалежною змінною (див. тут), наприклад: $y = b + \frac{1}{2} at^2$. Тоді, якщо нам сказали б його диференціювати, це означає, що ми повинні знайти його похідну відносно $t$. Таким чином, наша справа полягатиме у тому, щоб спробувати знайти $\dfrac{dy}{dt}$, тобто $\dfrac{d(b + \frac{1}{2} at^2)}{dt }$.

Приклад на числах.

Припустимо, $x=100$, отже $y=10 000$. Нехай $x$ зростає і стає $101$ (тобто нехай $dx=1$). Тоді збільшений $y$ становитиме $101 × 101 = 10 201 $. Але якщо ми погоджуємося ігнорувати незначні величини другого порядку, $1$ може бути відкинуте порівняно з $10 000$; тому ми можемо округлити збільшений $y$ до $10 200$. $y$ зріс від $10 000 $ до $10 200 $; тож, додана частинка $dy$ дорівнює $200$.

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{200}{1} = 200$. Згідно з алгебраїчними напрацюваннями попереднього параграфа, ми знаходимо $\dfrac{dy}{dx} = 2x$. Так і є; для $x=100$ і $2x=200$.

Але, скажете ви, ми знехтували цілою одиницею.

Що ж, спробуємо ще раз, зробивши $dx$ ще меншою частиною.

Нехай $dx=\frac{1}{10}$. Тоді $x+dx=100.1$, і \[ (x+dx)^2 = 100.1 × 100.1 = 10 020.01. \]

Тепер остання цифра $1$ становить лише одну мільйонну частину від $10 000$ і є абсолютно незначною; тому ми можемо взяти $10 020 $ без маленького десяткового дробу в кінці. І це дає $dy=20$; і $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{20}{0.1} = 200$, що все одно дорівнює $2x$.

Випадок 2

Нехай $y$ зросте до $y+dy$, поки $x$ зростає до $x+dx$.

Тоді ми маємо \[ y + dy = (x + dx)^3. \]

Виконуючи зведення в куб, ми отримуємо \[ y + dy = x^3 + 3x^2 · dx + 3x(dx)^2+(dx)^3. \]

Ми знаємо, що малими величинами другого і третього порядків можна знехтувати; оскільки $dy$ і $dx$ обидва зроблені нескінченно малими, $(dx)^2$ і $(dx)^3$ стануть ще нескінченно меншими у порівнянні з ними. Отже, вважаючи їх незначними, ми залишаємо: \[ y + dy=x^3+3x^2 · dx. \]

Але $y=x^3$; і, віднявши це, ми маємо: \begin{align*} dy &= 3x^2 · dx, \\ \text{ та}\; \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align*}

Випадок 3

Спробуємо диференціювати $y=x^4$. Починаючи, як і раніше, дозволивши $y$ і $x$ трохи зрости, ми маємо: \begin{align*} y + dy &= (x+dx)^4. \\ \end{align*} Виконуючи піднесення до четвертого степеня, отримуємо

\begin{align*} y + dy &= x^4 + 4x^3\, dx + 6x^2(dx)^2 + 4x(dx)^3+(dx)^4. \\ \end{align*} Тоді викреслюючи члени, що містять вищі степені $dx$, як незначні для порівняння, ми маємо \begin{align*} y + dy &= x^4+4x^3\ , dx. \\ \end{align*} Віднімаючи початкове $y=x^4$, ми залишаємо \begin{align*} dy &= 4x^3\, dx, \\ \text{ і}\; \frac{dy}{dx} &= 4x^3. \end{align*}

\begin{align*} y + dy &= x^4 + 4x^3\, dx + 6x^2(dx)^2 + 4x(dx)^3+(dx)^4. \\ \end{align*} Тоді викреслюючи члени, що містять вищі степені $dx$, як незначні для порівняння, ми маємо \begin{align*} y + dy &= x^4+4x^3\ , dx. \\ \end{align*} Віднімаючи початкове $y=x^4$, ми залишаємо \begin{align*} dy &= 4x^3\, dx, \\ \text{ і}\; \frac{dy}{dx} &= 4x^3. \end{align*}

Усі ці випадки досить прості. Давайте підсумуємо результати, щоб побачити, чи можемо ми вивести якесь загальне правило. Розмістимо їх у двох стовпцях, значення $y$ в першому, а відповідні значення, знайдені для $\dfrac{dy}{dx}$ в другому: таким чином

Просто подивіться на ці результати: операція диференціювання, схоже, призвела до зменшення степеня $x$ на $1$ (наприклад, в останньому випадку $x^4$ зменшився до $x^3$) і у той самий час до помноження на число (на те саме число, яке спочатку було степенем). Тепер, коли ви побачили це, ви можете легко здогадатися, як піде далі. Можна очікувати, що диференціювання $x^5$ дасть $5x^4$, або диференціювання $x^6$ дасть $6x^5$. Якщо ви сумніваєтеся, спробуйте один із них і перевірте, чи вірна ваша гіпотеза.

Нехай $y = x^{-2}$. Продовжуємо, як і раніше: \begin{align*} y+dy &= (x+dx)^{-2} \\ &= x^{-2} \left(1 + \frac{dx}{x}\right)^{-2}. \end{align*} Розкриваючи це за біноміальною теоремою (див. тут), отримуємо \begin{align*} &=x^{-2} \left[1 - \frac{2\, dx}{x} + \frac{2(2+1)}{1×2} \left(\frac{dx}{x}\right)^2 - \text{...}\right] \\ &=x^{-2} - 2x^{-3} · dx + 3x^{- 4}(dx)^2 - 4x^{-5}(dx)^3 + \text{...} \\ \end{align*} Отже, відкидаючи малі величини вищих порядків малості, ми маємо: \begin{align*} y + dy &= x^{-2} - 2x^{-3} · dx. \end{align*} Віднімаючи початкове $y = x^{-2}$, ми отримуємо $$\begin{align*} dy &= -2x^{-3}dx, \\ \frac{dy}{dx} &= -2x^{-3}. \end{align*}$$ І це досі відповідає правилу, виведеному вище.

Випадок дробового степеня.

Нехай $y= x^{\frac{1}{2}}$.Тоді, як і раніше,

\begin{align*} y+dy = (x+dx)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac {dx}{x} )^{\frac{1}{2}} =\\ = \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}}-\frac{1}{8} \frac{(dx)^2}{x\sqrt{x}}+\\ + \text{величини з вищими степенями $dx$.} \end{align*}

\begin{align*} y+dy &= (x+dx)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac {dx}{x} )^{\frac{1}{2}} \\ &= \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} - \frac{1}{8} \frac{(dx)^2}{x\sqrt{x}} + \text{величини з вищими степенями $dx$.} \end{align*}

Віднімаючи початкове $y = x^{\frac{1}{2}}$ і нехтуючи вищими степенями, в нас залишається: \[ dy = \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x }} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} · dx, \] і $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2} x^ {-\frac{1}{2}}$. Узгоджується із загальним правилом.

Підсумок. Подивімось, як далеко ми дісталися. Ми прийшли до наступного правила: щоб продиференціювати $x^n$, треба помножити на степінь і зменшити степінь на одиницю, отримавши $nx^{n-1}$ як результат.