Деякі з найважливіших проблем математичного аналізу – це ті, де час є незалежною змінною, і ми повинні думати про значення деяких інших величин, що змінюються, коли змінюється час. Деякі речі з часом стають більшими, деякі інші речі зменшуються. Відстань, яку потяг пройшов від місця відправлення, з часом збільшується. З роками дерева стають вищими. Що зростає з більшою швидкістю - рослина заввишки $12$ дюймів, що за місяць стає $14$ дюймів, або дерево заввишки $12$ футів, яке за рік стає $14$ футів?
У цій главі ми будемо багато використовувати слова темп та швидкість. Нічого спільного із темпами народжуваності чи смертністю, хоча ці слова говорять про таку кількість народжених чи померлих на тисячу населення. Коли повз нас проноситься автомобіль, ми кажемо: яка приголомшлива швидкість! Коли марнотратник розкидається своїми грошима, ми помічаємо, що цей молодий чоловік живе надзвичайним темпом. Що ми маємо на увазі під словом темп? В обох цих випадках ми робимо уявне порівняння того, що відбувається, і часу, який потрібен для цього. Якщо автомобіль пролітає повз нас зі швидкістю $10$ ярдів за секунду, проста арифметика в розумі покаже нам, що це еквівалентно швидкості $600$ ярдів за хвилину, або понад $20$ миль на годину.
У якому сенсі правда, що швидкість $10$ ярдів за секунду дорівнює $600$ ярдів за хвилину? Десять ярдів не те саме, що $600$ ярдів, і одна секунда не те саме, що одна хвилина. Що ми маємо на увазі, кажучи, що швидкість та сама, полягає в тому, що співвідношення між пройденою відстанню та часом, витраченим на її проходження, однакове в обох випадках.
Візьмемо інший приклад. Людина може мати у своєму розпорядженні лише кілька фунтів стерлінгів, і все ж мати можливість витрачати гроші зі швидкістю мільйонів на рік — за умови, що вона продовжує витрачати гроші з такою швидкістю лише кілька хвилин. Припустімо, ви подаєте шилінг на прилавок, щоб заплатити за якийсь товар; і припустимо, що операція триває рівно одну секунду. Тоді під час цієї короткої операції ви розлучаєтеся зі своїми грошима зі швидкістю $1$ шилінга за секунду, що дорівнює £$3$ за хвилину, або £$180$ за годину, або £$4320$ за день, або £$1,576,800$ на рік! Якщо у вашій кишені є £$10$, ви можете продовжувати витрачати гроші в розмірі мільйона на рік лише за $5\frac{1}{4}$ хвилин.
Кажуть, що Сенді не встиг перебувати в Лондоні більш ніж п'ять хвилин, як вже витратив шестипенсовик. Якщо він продовжить витрачати гроші з такою швидкістю протягом усього дня, скажімо, $12$ годин, це становитиме $6$ шилінгів за годину, або £$3$. $12$ за день, або £$21$. $12$ на тиждень, не враховуючи неділі.
Тепер спробуємо виразити деякі з цих ідей у диференціальній нотації.
Нехай у цьому випадку $y$ означає суму грошей, а $t$ — час.
Якщо ви витрачаєте гроші, і сума, яку ви витрачаєте за короткий час $dt$, називається $dy$, то темп витрат становитиме $\dfrac{dy}{dt}$, а точніше, має бути записаним зі знаком мінус, як $-\dfrac{dy}{dt}$, тому що $dy$ є зменшення, а не приріст. Але гроші не є гарним прикладом для підрахунку, тому що вони зазвичай надходять і йдуть стрибками, а не безперервним потоком – ви можете заробляти £$200$ на рік, але вони не надходять цілий день тонким струмком; вони надходять тільки щотижня, або щомісяця, або щокварталу, частинами; і ваші витрати також трапляються у вигляді раптових платежів.
Більш влучною ілюстрацією ідеї темпу є швидкість руху тіла. Відстань від Лондона (станція Юстон) до Ліверпуля становить $200$ миль. Якщо потяг відправляється з Лондона о $7$ годині та досягає Ліверпуля об $11$ годині, ви знаєте, що, оскільки він проїхав $200$ миль за $4$ години, його середня швидкість повинна становити $50$ миль на годину, оскільки $\frac{200}{4} = \frac{50}{1}$. Тут ви справді порівнюєте подумки пройдену відстань та час, витрачений на її подолання. Ви ділите одне на інше. Якщо $y$ — це вся відстань, а $t$ — увесь час, очевидно, що середня швидкість дорівнює $\dfrac{y}{t}$. Проте, швидкість фактично не була постійною на всьому шляху: на початку та під час уповільнення в кінці шляху швидкість була меншою. Ймовірно, на якійсь ділянці під час спуску швидкість була понад $60$ миль на годину. Якщо протягом будь-якого окремого відрізка часу $dt$ відповідна пройдена відстань була $dy$, то на цій частині шляху швидкість була $\dfrac{dy}{dt}$. Темп, з яким одна величина (у цьому випадку відстань) змінюється стосовно іншої величини (в цьому випадку часу) виражається, вказавши похідну однієї відносно іншої. Швидкість, у науковому вираженні, це швидкість, з якою проходиться дуже невелика відстань у будь-якому заданому напрямку; тому її можна записати як \[ v = \dfrac{dy}{dt}. \]
Але якщо швидкість $v$ нерівномірна, то вона повинна або зростати, або зменшуватися. Темп, з яким швидкість зростає, називається прискорення. Якщо тіло, що рухається, у будь-який конкретний момент набуває додаткової швидкості $dv$ за проміжок часу $dt$, тоді прискорення $a$ у цей проміжок можна записати як \[ a = \dfrac{dv}{dt }; \] але $dv$ сама є $d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)$. Отже, ми можемо покласти \[ a = \frac{d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)}{dt}; \] і це зазвичай пишеться $a = \dfrac{d^2y}{dt^2}$; або прискорення є другою похідною відстані відносно часу. Прискорення виражається як зміна швидкості в одиницю часу, наприклад, як кількість футів на секунду на секунду; використовується нотація $\text{feet} ÷ \text{second}^2$.
Коли поїзд тільки почав рух, його швидкість $v$ мала; але він швидко набирає швидкість – його прискорює зусилля двигуна. Отже, його $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ велике. Коли він досяг максимальної швидкості, він більше не прискорюється, тому $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ впало до нуля. Але коли він наближається до місця зупинки, його швидкість починає сповільнюватися; насправді може дуже швидко сповільнитись, якщо натиснути на гальма, і протягом цього періоду уповільнення, значення $\dfrac{dv}{dt}$, тобто $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ буде від’ємним.
Щоб прискорити масу $m$, необхідна безперервна прикладена сила. Сила, необхідна для прискорення маси, пропорційна масі, а також пропорційна прискоренню, яке надається. Тому ми можемо написати для сили $f$ вираз \begin{align*} f &= ma;\\ \text{або}\;\; f &= m \frac{dv}{dt}; \\ \text{або}\;\; f &= m \frac{d^2y}{dt^2}. \end{align*}
Добуток маси на швидкість, з якою вона рухається, називається її імпульсом, і в символах записується $mv$. Якщо диференціювати імпульс за часом, ми отримаємо $\dfrac{d(mv)}{dt}$ для темпу зміни імпульсу. Але, оскільки $m$ є постійною величиною, це можна записати як $m \dfrac{dv}{dt}$, і це, як ми бачили вище, те саме, що $f$. Тобто силу можна виразити як масу, помножену на прискорення, або як швидкість зміни імпульсу.
Знову ж таки, якщо для переміщення чогось використовується сила (проти протилежної за напрямком сили), вона виконує роботу; а кількість виконаної роботи вимірюється добутком сили на відстань (у напрямку сили), на яку точка прикладання сили рухається вперед. Отже, якщо сила $f$ рухає вперед на довжину $y$, виконана робота (яку ми можемо назвати $w$) буде \[ w = f \cdot y; \] де ми беремо $f$ як постійну силу. Якщо сила змінюється у різних частинах діапазону $y$, то ми повинні знайти вираз для її значення від точки до точки. Якщо $f$ — це сила вздовж малого відрізка довжини $dy$, кількість виконаної роботи буде $f \cdot dy$. Але оскільки $dy$ є лише частиною довжини, буде виконано лише частину роботи. Якщо ми пишемо $w$ для роботи, то частина роботи буде $dw$; і ми маємо \begin{align*} dw &= f \cdot dy; \\ \end{align*}що може бути записано як \begin{align*} dw &= ma·dy; \\ \text{ або}\; dw &= m \frac{d^2y}{dt^2}· dy; \\ \text{або}\; dw &= m \frac{dv}{dt}· dy. \\ \end{align*} Крім того, ми можемо транспонувати вираз і написати \begin{align*} \frac{dw}{dy} &= f. \end{align*}
Це дає нам ще третє визначення сили; якщо вона використовується для переміщення в будь-якому напрямку, сила (у цьому напрямку) дорівнює темпу, з яким виконується робота на одиницю довжини в цьому напрямку. У цьому останньому реченні слово темп явно використовується не в значенні часу, а в значенні співвідношення або пропорції.
Сер Ісаак Ньютон, який був (разом з Лейбніцем) винахідником методів математичного аналізу, розглядав усі величини, що змінювалися, як текучі; і співвідношення, яке ми сьогодні називаємо похідною, він розглядав як швидкість течії, або флюксію відповідної величини. Він не використовував позначення $dy$ і $dx$, а також $dt$ (це було завдяки Лейбніцу), натомість мав власне позначення. Якщо $y$ була величиною, яка змінювалася або «текла», то його символом для швидкості її зміни (або «флюксії») був $\dot{y}$. Якщо $x$ була змінною, то її флюксія називалася $\dot{x}$. Крапка над літерою означала, що вона була диференційована. Але це позначення не говорить нам, що є незалежною змінною, відносно якої було здійснено диференціювання. Коли ми бачимо $\dfrac{dy}{dt}$, ми знаємо, що $y$ потрібно диференціювати відносно $t$. Якщо ми бачимо $\dfrac{dy}{dx}$, ми знаємо, що $y$ потрібно диференціювати відносно $x$. Але якщо ми бачимо лише $\dot{y}$, ми не зможемо зрозуміти, не дивлячись на контекст, чи мається на увазі $\dfrac{dy}{dx}$, чи $\dfrac{dy}{dt}$, чи $\dfrac{dy}{dz}$ або інша змінна. Отже, ця нотація флюксії є менш інформативною, ніж диференціальна нотація, і, як наслідок, значною мірою вийшла з ужитку. Але її простота дає перевагу, якщо тільки ми погодимося використовувати її виключно для тих випадків, де незалежною змінною є час. У цьому випадку $\dot{y}$ означатиме $\dfrac{dy}{dt}$, а $\dot{u}$ означатиме $\dfrac{du}{dt}$; і $\ddot{x}$ означатиме $\dfrac{d^2x}{dt^2}$.
Прийнявши це флюксійне позначення, ми можемо записати механічні рівняння, розглянуті в абзацах вище, таким чином:
| відстань | $x$ |
| швидкість | $v = \dot{x}$ |
| прискорення | $a = \dot{v} = \ddot{x}$ |
| сила | $f = m\dot{v} = m\ddot{x}$ |
| робота | $w = x \cdot m \ddot{x}$ |
Приклади (1) Тіло рухається так, що відстань $x$ (у футах), яку воно проходить від певної точки $O$, визначається співвідношенням $x = 0.2t^2 + 10.4$, де $t$ — час у секундах, що минув з певного моменту. Знайдіть швидкість і прискорення через $5$ секунд після початку руху тіла, а також знайдіть відповідні значення, коли пройдена відстань становить $100$ футів. Також знайдіть середню швидкість протягом перших $10$ секунд його руху. (Припустимо, що відстані та рух праворуч додатні.) Так, \[ x = 0.2t^2 + 10.4 \\ v = \dot{x} = \frac{dx}{dt} = 0.4t; \\ a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = 0.4 = \text{константа.} \]
Коли $t = 0$, $x = 10.4$ і $v = 0$. Тіло починало рух з точки $10.4$ футів праворуч від точки $O$; і час відраховувався від моменту, коли тіло стартувало.
Коли $t = 5$, $$v = 0.4 × 5 = 2 \text{ фута на секунду}; \\ a = 0.4 \text{ фута на секунду в квадраті}$$.
Коли $x = 100$, $100 = 0.2t^2 + 10.4$ або $t^2 = 448$ і $t = 21.17 \text{ секунд}$; $v = 0.4 × 21.17 = 8.468 \text{ футів на секунду}$
Коли $t = 10$, \begin{gather*} \text{пройдена відстань=} \\= 0.2 × 10^2 + 10.4 - 10.4 = 20 \text{ футів} \\ \text{Середня швидкість} = \tfrac{20 }{10} = 2 \text{ фута/сек} \end{gather*}
(Це та сама швидкість, що й швидкість у середині інтервалу, $t = 5$; оскільки прискорення є постійним, швидкість рівномірно змінюється від нуля, коли $t = 0$ до $4 \text{ футів на секунду}$, коли $t = 10$.)
(2) У наведеній вище задачі припустимо \begin{gather*} x = 0.2t^2 + 3t + 10.4.\\ v = \dot{x} = \dfrac{dx}{dt} = 0.4t + 3 \\ a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = 0.4 = \text{константа}. \end{gather*}
Коли $t = 0$, $x = 10.4$ і $v = 3$ футів/сек, час відраховується з моменту, коли тіло пройшло точку $10.4$ футів від точки $O$, його швидкість тоді вже становить $3$ фута/сек. Щоб знайти час, що минув з моменту початку руху, нехай $v = 0$; тоді $0.4t + 3 = 0$, $t= -\frac{3}{0.4} = -7.5$ сек. Тіло почало рухатися за $7.5$ секунд до того, як час почали спостерігати; $5$ секунд після цього дає $t = -2.5$ і $v = 0.4 × -2.5 + 3 = 2$ фута/сек.
Коли $x = 100$ футів, \[ 100 = 0.2t^2 + 3t + 10.4;\\ \text{або } t^2 + 15t - 448 = 0; \] отже $t = 14.95$ с, $v = 0.4 × 14.95 + 3 = 8.98$ футів/сек.
Щоб знайти відстань, пройдену протягом $10$ перших секунд руху, необхідно знати, на якій відстані тіло перебувало від точки $O$ на початку руху.
Коли $t = -7.5$, \[ x = 0.2 × (-7.5)^2 - 3 × 7.5 + 10.4\\ = -0.85 \text{ фута}, \] це становить $0.85$ фута ліворуч від точки $O$.
Тепер, коли $t = 2.5$, \[ x = 0.2 × 2.5^2 + 3 × 2.5 + 10.4 = 19.15. \]
Отже, за $10$ секунд пройдена відстань становила $19.15 + 0.85 = 20$ футів, а \[ \text{середня швидкість } = \tfrac{20}{10} = 2 \text{ фута/сек}. \]
(3) Розглянемо подібну задачу, коли відстань задана як $x = 0.2t^2 - 3t + 10.4$. Тоді $v = 0.4t - 3$, $a = 0.4 = \text{константа}$. Коли $t = 0$, $x = 10.4$, як і раніше, а $v = -3$; тобто, тіло рухалося в напрямку, протилежному його руху в попередніх випадках. Проте, оскільки прискорення додатне, ми бачимо, що ця швидкість зменшуватиметься з часом, поки не стане нульовою, коли $v = 0$ або $0.4t - 3 = 0$; або $t = 7.5$ сек. Після цього швидкість стає позитивною; і через $5$ секунд, $t = 12.5$ і \[ v = 0.4 × 12.5 - 3 = 2 \text{ фута/сек}. \]
Коли $x = 100$, \[ 100 = 0.2t^2 - 3t + 10.4,\\\quad \text{або } t^2 - 15t - 448 = 0, \text{і}\; t = 29.95;\\\ v = 0.4 × 29.95 - 3 = 8.98 \text{ футів/сек.} \]
Коли $v$ дорівнює нулю, $x = 0.2 × 7.5^2 - 3 × 7.5 + 10.4 = -0.85$, інформуючи нас про те, що тіло рухається у зворотному напрямку на $0.85$ фути за точку $O$ до зупинки. Через десять секунд \[ t = 17.5\\ \text{ і } x = 0.2 × 17.5^2 - 3 × 17.5 + 10.4 = 19.15. \] $\text{Пройдена відстань} = .85 + 19.15 = 20.0$, і середня швидкість знову $2$ футів/сек.
(4) Розглянемо ще одну задачу такого ж типу з $x = 0.2t^3 - 3t^2 + 10.4$; $v = 0.6t^2 - 6t$; $a = 1.2t - 6 $. Прискорення більше не є постійним.
Коли $t = 0$, $x = 10.4$, $v = 0$, $a = -6$. Тіло перебуває в стані покою, але вже готове рухатися з негативним прискоренням, тобто набрати швидкість у напрямку точки $O$.
(5) Якщо ми маємо $x = 0.2t^3 - 3t + 10.4$, то $v = 0.6t^2 - 3$ та $a = 1.2t$.
Коли $t = 0$, $x = 10.4$; $v = -3$; $a = 0$.
Тіло рухається у напрямку точки $O$ зі швидкістю $3$ футів/сек., і саме в цей момент швидкість рівномірна.
Ми бачимо, що умови руху завжди можна відразу встановити з рівняння часу-відстані та його першої та другої похідних функцій. В останніх двох випадках середня швидкість протягом перших $10$ секунд і швидкість через $5$ секунд після старту більше не будуть однаковими, оскільки швидкість не зростає рівномірно, тобто прискорення більше не є постійним.
(6) Кут $\theta$ (у радіанах), на який обертається колесо, визначається як $\theta = 3 + 2t - 0.1t^3$, де $t$ — це час у секундах з певного моменту; знайти кутову швидкість $\omega$ і кутове прискорення $\alpha$, (a) через $1$ секунду; (b) після одного оберту. У який час колесо перебуває в стані покою і скільки обертів воно зробило до цього моменту?
Швидкість та прискорення: \[ \omega = \dot{\theta} = \dfrac{d\theta}{dt} = 2 - 0.3t^2, \\\quad \alpha = \ddot{\theta} = \dfrac{d^2\theta}{dt^2} = -0.6t. \]
Коли $t = 0$, $\theta = 3$; $\omega = 2$ рад./сек.; $\alpha = 0$.
Коли $t = 1$, \[ \omega = 2 - 0.3 = 1.7 \text{ рад/сек.};\\\quad \alpha = -0.6 \text{ рад./сек.}^2. \]
Це сповільнення.
Після одного оберту \[ \theta = 2\pi = 6.28;\quad 6.28 = 3 + 2t - 0.1t^3. \]
Побудувавши графік $\theta = 3 + 2t - 0.1t^3$, ми можемо отримати значення або декілька значень $t$, для яких $\theta = 6.28$; і це $2.11$ та $3.03$ (є третє від'ємне значення).
Коли $t = 2.11$, \begin{gather*} \theta = 6.28;\\\quad\omega = 2 - 1.34 = 0.66 \text{ рад./сек.}; \\ \alpha = -1.27 \text{ рад./сек}^2. \\ \end{gather*} Коли $t = 3.03$, \begin{gather*} \theta = 6.28;\\\quad \omega = 2 - 2.754 = -0.754 \text{ рад./сек.}; \\ \alpha = -1.82 \text{ рад./сек}^2. \end{gather*}
Швидкість зворотна. Колесо, очевидно, перебуває в спокої між цими двома моментами; воно перебуває в стані спокою, коли $\omega = 0$, тобто коли $0 = 2 - 0.3t^3$, або коли $t = 2.58 \text{ сек.}$, воно виконало \[ \frac{\theta} {2\pi} = \frac{3 + 2 × 2.58 - 0.1 × 2.58^3}{6.28}\\ = 1.025 \text{ оберти}. \]
(1) Якщо $y = a + bt^2 + ct^4$, знайти $\dfrac{dy}{dt}$ і $\dfrac{d^2y}{dt^2}$.
Відповідь. $\dfrac{dy}{dt} = 2bt + 4ct^3$; $\dfrac{d^2y}{dt^2} = 2b + 12ct^2$.
(2) Тіло, що вільно падає в просторі, описує за $t$ секунд простір $s$ у футах, що виражається рівнянням $s = 16t^2$. Намалюйте криву, що відображає співвідношення між $s$ і $t$. Визначте також швидкість тіла за наступні моменти часу від його падіння: $t = 2$ секунди; $t = 4.6$ секунди; $t = 0.01$ секунди.
(3) Якщо $x = at - \frac{1}{2}gt^2$; знайти $\dot{x}$ і $\ddot{x}$.
(4) Якщо тіло рухається за законом \[ s = 12 - 4.5t + 6.2t^2, \] знайдіть його швидкість, коли $t = 4$ секунди; $s$ у футах.
(5) Знайдіть прискорення тіла, зазначеного в попередньому прикладі. Чи однакове прискорення для всіх значень $t$?
(6) Кут $\theta$ (у радіанах), на який повертається колесо, пов’язаний з часом $t$ (у секундах), який минув з моменту запуску, за законом \[ \theta = 2.1 - 3.2t + 4.8t^2. \]
Знайдіть кутову швидкість (у радіанах на секунду) цього колеса, коли минуло $1\frac{1}{2}$ секунд. Знайдіть також його кутове прискорення.
(7) Повзунок рухається так, що під час першої частини його руху його відстань $s$ у дюймах від початкової точки визначається виразом \[ s = 6.8t^3 - 10.8t;\quad\text{ $t$ у секундах}. \]
Знайти вираз для швидкості та прискорення будь-якого моменту часу; і, отже, знайти швидкість і прискорення через $3$ секунди.
(8) Рух повітряної кулі, що підіймається, такий, що її висота $h$ у милях у будь-який момент визначається виразом $h = 0.5 + \frac{1}{10}\sqrt[3]{t- 125}$; $t$ у секундах.
Знайдіть вирази швидкості та прискорення для будь-якого моменту часу. Накресліть криві, щоб показати зміну висоти, швидкості та прискорення протягом перших десяти хвилин підйому.
(9) Камінь кидають вниз у воду, і його глибина $p$ у метрах у будь-який момент $t$ секунд після досягнення поверхні води визначається виразом \[ p = \frac{4}{4+t ^2} + 0.8t - 1. \]
Знайдіть вирази швидкості та прискорення для будь-якого моменту часу. Знайдіть швидкість і прискорення через $10$ секунд.
(10) Тіло рухається таким чином, що описуваний простір за час $t$ від старту визначається як $s = t^n$, де $n$ — константа. Знайдіть значення $n$, якщо швидкість подвоїлась від $5$-ї до $10$-ї секунди; знайдіть також $n$, якщо швидкість чисельно дорівнює прискоренню в кінці $10$-ї секунди.
(2) 64; 147.2; і 0.32 фута в секунду.
(3) $x = a - gt$; $\ddot{x} = -g$.
(4) $45.1$ футів за секунду.
(5) $12.4$ футів на секунду на секунду. Так.
(6) Кутова швидкість ${} = 11.2$ радіан на секунду; кутове прискорення ${}= 9.6$ радіан на секунду на секунду.
(7) $v = 20.4t^2 - 10.8$. $a = 40.8t$. $172.8$ дюйм/сек., $122.4 \text{ дюйм/сек.}^2$.
(8) $v = \dfrac{1}{30 \sqrt[3]{(t - 125)^2}}$, $a = - \dfrac{1}{45 \sqrt[3]{(t - 125)^5}}$.
(9) $v = 0.8 - \dfrac{8t}{(4 + t^2)^2}$, $a = \dfrac{24t^2 - 32}{(4 + t^2)^3}$, $0.7926$ та $0.00211$.
(10) $n = 2$, $n = 11$.