(b) Спадна крива

Якби ми взяли як $p$ правильний дріб (менше одиниці), крива, очевидно, мала б тенденцію спускатися вниз, як на Зображенні 42, де кожна наступна ордината становить $\frac{3}{4}$ висоти попередньої.

Рівняння все ще \[ y=bp^x, \] але оскільки $p$ менше одиниці, $\log_\epsilon p$ буде від’ємною величиною, і її можна записати як $-a$; так що $p=\epsilon^{-a}$, і тепер наше рівняння для кривої набуває вигляду \[ y=b\epsilon^{-ax}. \]

Важливість цього виразу полягає в тому, що у випадку, коли незалежною змінною є час, рівняння представляє перебіг великої кількості фізичних процесів, у яких щось поступово спадає. Так, охолодження гарячого тіла представлено (у знаменитому «законі охолодження» Ньютона) рівнянням \[ \theta_t=\theta_0 \epsilon^{-at}; \] де $\theta_0$ — початкове перевищення температури гарячого тіла над температурою його оточення, $\theta_t$ — перевищення температури в кінці часу $t$, а $a$ — константа, а саме: константа декременту, що залежить від площі поверхні, відкритої тілом, і від його коефіцієнтів провідності та випромінювальної здатності тощо.

Подібна формула \[ Q_t=Q_0 \epsilon^{-at}, \] використовується для вираження заряду наелектризованого тіла, яке спочатку має заряд $Q_0$, який витікає з константою декременту $a$, яка у цьому випадку залежить від місткості тіла та від опору шляху витоку.

Коливання, надані гнучкій пружині, через деякий час згасають, і згасання амплітуди руху можна виразити подібним чином.

Фактично $\epsilon^{-at}$ служить фактором згасання для всіх тих явищ, у яких швидкість зменшення пропорційна величині того, що зменшується; тобто де, у наших звичних символах, $\dfrac{dy}{dt}$ пропорційна у кожен момент значенню, яке в цей момент має $y$. Бо нам залишається тільки оглянути криву, Зображення 42 вище, щоб побачити, що в кожній її частині нахил $\dfrac{dy}{dx}$ пропорційний висоті $y$; крива стає більш плоскою, коли $y$ стає меншим. У символах, таким чином, $y=b\epsilon^{-ax}$ або \[ \log_\epsilon y = \log_\epsilon b - ax \log_\epsilon \epsilon = \log_\epsilon b - ax,\\ \text{і, диференціюючи,}\; \frac{1}{y}\, \frac{dy}{dx} = -a;\\ \text{отже}\; \frac{dy}{dx} = b\epsilon^{-ax} × (-a) = -ay; \] або, словами, нахил кривої вниз і пропорційний $y$ і константі $a$.

Ми мали б отримати той самий результат, якби взяли рівняння у формі \begin{align*} y &= bp^x; \\ \text{тоді}\; \frac{dy}{dx} &= bp^x × \log_\epsilon p. \\ \text{Але}\; \log_\epsilon p &= -a; \\ \text{дає нам}\; \frac{dy}{dx} &= y × (-a) = -ay, \end{align*} як і раніше.

Стала часу. У виразі для «коефіцієнта згасання» $\epsilon^{-at}$ величина $a$ є зворотною іншої величини, відомої як “стала часу”, яку ми можемо позначити символом $T$. Тоді коефіцієнт згасання буде записаний $\epsilon^{-\frac{t}{T}}$, і можна побачити, зробивши $t = T$, що значення $T$ $\left(\text{або} \dfrac{1}{a}\right)$ це тривалість часу, який необхідний, щоб початкова кількість (у попередніх випадках називається $\theta_0$ або $Q_0$) зменшилася до $\dfrac{1}{\epsilon}$-ї частини, тобто до $0.3678$ від початкового значення.

Значення $\epsilon^x$ і $\epsilon^{-x}$ постійно потрібні в різних галузях фізики, і оскільки вони наведені в дуже небагатьох наборах математичних таблиць, деякі значення приведено тут для зручності. .

Як приклад використання цієї таблиці, припустимо, що гаряче тіло охолоджується, і що на початку експерименту (тобто коли $t = 0$) воно на $72°$ гарячіше за навколишні об’єкти. Якщо стала часу її охолодження становить $20$ хвилин (тобто якщо потрібно $20$ хвилин, щоб її надлишок температури впав до $\dfrac{1}{\epsilon}$ частини від $72°$), тоді ми можемо обчислити, до якої величини температура тіла впаде за будь-який момент часу $t$. Наприклад, нехай $t$ становить $60$ хвилин. Тоді $\dfrac{t}{T} = 60 ÷ 20 = 3$, тож нам потрібно знайти значення $\epsilon^{-3}$, а потім помножити вихідні $72°$ на це. З таблиці видно, що $\epsilon^{-3}$ дорівнює $0.0498$. Таким чином, наприкінці $60$ хвилин перевищення температури впаде до $72° × 0.0498 = 3.586°$.

Більше прикладів.

(1) Сила електричного струму в провіднику у момент $t$ секунд після застосування електрорушійної сили, що створює цей струм, визначається виразом $C = \dfrac{E}{R}\left\{1 - \epsilon^{-\frac{Rt}{L}}\right\}$ .

Стала часу це $\dfrac{L}{R}$.

Якщо $E = 10$, $R =1$, $L = 0.01$, тоді, коли $t$ дуже великий, член $\left\{1 - \epsilon^{-\frac{Rt}{L}}\right\}$ стає $1$, і $C = \dfrac{E}{R} = 10$; а також \[ \frac{L}{R} = T = 0.01. \]

Тоді силу електричного струму в будь-який час можна записати так: \[ C = 10 - 10\epsilon^{-\frac{t}{0.01}}, \] Стала часу дорівнює $0.01$. Це означає, що потрібно $0.01$ секунди, щоб змінний член зменшився до $\dfrac{1}{\epsilon} = 0.3678$ частки від його початкового значення $10\epsilon^{-\frac{0}{0.01}} = 10$.

Щоб знайти значення струму, скажімо, при $t = 0.001 \text{ секунди}$, $\dfrac{t}{T} = 0.1$, $\epsilon^{-0.1} = 0.9048$ (з таблиці).

Звідси випливає, що після $0.001$ сек. змінний член становитиме $0.9048 × 10 = 9.048$, а фактичний струм буде $10 - 9.048 = 0.952$.

Подібним чином наприкінці $0.1$ секунди \[ \frac{t}{T} = 10;\quad \epsilon^{-10} = 0.000045; \] змінний член дорівнює $10 × 0.000045 = 0.00045$, а струм $9.9995$.

(2) Інтенсивність $I$ променя світла, який пройшов через товщину $l$ см деякого прозорого середовища $I = I_0\epsilon^{-Kl}$, де $I_0$ — початкова інтенсивність променя, а $K$ — «константа поглинання».

Цю константу зазвичай знаходять експериментально. Якщо виявити, наприклад, що інтенсивність променя світла зменшилася на 18% при проходженні через $10$ см певного прозорого середовища, це означає, що $82 = 100 × \epsilon^{-K×10}$ або $\epsilon^{-10K} = 0.82$, а з таблиці видно, що $10K = 0.20$ приблизно; отже $K = 0.02$.

Щоб знайти товщину, яка зменшить інтенсивність до половини її значення, потрібно знайти значення $l$, яке задовольняє рівність $50 = 100 × \epsilon^{-0.02l}$, або $0.5 = \epsilon^{-0.02 l}$. Вона знаходиться шляхом представлення цього рівняння в його логарифмічній формі, а саме: \[ \log 0.5 = -0.02 × l × \log \epsilon, \] що дає приблизно \[ l = \frac{-0.3010}{-0.02 × 0.4343} = 34.7 \text{ сантиметрів}. \]

(3) Відомо, що кількість $Q$ радіоактивної речовини, яка ще не зазнала перетворення, пов’язана з початковою кількістю $Q_0$ речовини співвідношенням $Q = Q_0 \epsilon^{-\lambda t }$, де $\lambda$ — константа, а $t$ — час у секундах, що минув із початку перетворення.

Для «радію $A$», якщо час виражено в секундах, експеримент показує, що $\lambda = 3.85 × 10^{-3}$. Знайти час, необхідний для перетворення половини речовини. (Цей час називається «періодом напіврозпаду» речовини.)

Маємо $0.5 = \epsilon^{-0.00385t}$. \begin{align*} \log 0.5 &= -0.00385t × \log \epsilon; \\ \text{і}\; t &= 3\text{ хвилини (майже)}. \end{align*}